درسنامه آموزشی ریاضی کلاس نهم

فصل 1: مجموعه‌ها

بازدید98/5 K

تاریخ بروزرسانی1398/08/12

نکات کلیدی درس

مجموعه

به دسته‌ای از اشیاء کاملا مشخص و دو به دو متمایز (غیر تکراری) مجموعه می‌گویند.

مثال
دام یک از عبارات زیر مشخص کننده یک مجموعه است؟
الف) 3 عدد زوج متوالی (مجموعه نیست)
ب) 4 گل زیبا (مجموعه نیست)
ج) اعداد اول کمتر از 10 (مجموعه است)

نکته: مجموعه را به صورت آکولاد $\left\{ {} \right\}$ نشان می‌دهند و با حروف بزرگ انگلیسی نام گذاری می‌کنند.
نکته: به هر یک از اعداد و عبارت داخل مجموعه عضو می‌گویند و علامت عضو بودن به صورت $\in $ و علامت عضو نبودن به صورت $\notin $ می‌باشد.
نکته: تعداد عضوهای هر مجموعه مانند A را به صورت $n(A)$ نشان می‌دهند.

مثال
با توجه به مجموعه‌ی $A={3,{4,5},6}$ درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید.

$ {6} \in A$	نادرست
$ 4\notin A $	درست
$ 3\in A $	درست
$n(A)=4$	نادرست

مجموعه تهی

مجموعه‌ای که دارای هیچ عضوی نباشد. علامت مجموعه تهی به صورت $\left\{ {} \right\}$ یا $\varnothing $ می‌باشد.

مثال
کدام یک از مجموعه‌های زیر مجموعه تهی است؟
الف) اعداد طبیعی کمتر از 4 $\left\{ 1,2,3 \right\}$
ب) اعداد صحیح کمتر از صفر $\left\{ ...,-3,-2,-1 \right\}$
ج) اعداد طبیعی بین 4 و 5 $\left\{ {} \right\}$

دو مجموعه برابر

دو مجموعه A‌ و B را برابر می‌گویند که هر عضو مجموعه A در مجموعه B و هر عضو مجموعه B در مجموعه A وجود داشته باشد. مانند دو مجموعه‌ی زیر:

$A=\left\{ 4,3,1 \right\}$ و $B=\left\{ \sqrt{9},7,\frac{20}{5} \right\}$

مثال
دو مجموعه‌ی زیر برابرند. مقدار x‌ و y را به دست آورید.

$\left\{ x-7,3 \right\}=\left\{ 4,y \right\}$ $x-7=4\Rightarrow x=11,y=3$

زیر مجموعه

مجموعه A زیر مجموعه B است. هرگاه هر عضو مجموعه A عضوی از مجموعه B باشد و آن را به صورت $A\subseteq B$ نشان می‌دهند. اگر A زیر مجموعه B نباشد آن را به صورت $\nsubseteq$ نشان می‌دهند.

نکته: اگر $A\subseteq B$ باشد آنگاه رابطه‌های مقابل همواره برقرار است: $A\bigcup B=B,A\bigcap B=A$
نکته: برای پیدا کردن تعداد زیر مجموعه‌ها از رابطه ${{2}^{n}}$ استفاده می‌کنیم. اگر تعداد زیر مجموعه را داشته باشیم و تعداد عضو را خواسته باشند عدد داده شده را تجزیه می‌کنیم.

مثال
الف) مجموعه‌ی $A=\left\{ 1,2,...,10 \right\}$ چند زیر مجموعه دارد؟
زیر مجموعه $n(A)=10\Rightarrow {{2}^{n}}={{2}^{10}}=1024$

ب) یک مجموعه دارای 32 زیر مجموعه است. این مجموعه چند عضو دارد؟
5 عضو دارد $32={{2}^{5}}$

نمایش مجموعه‌ها

الف) مجموعه اعداد طبیعی: $N=\left\{ 1,2,3,... \right\}$	ب) مجموعه اعداد حسابی: $W=\left\{ 0,1,2,... \right\}$
ج) مجموعه اعداد صحیح: $Z=\left\{ ...,-2,-1,0,1,2,... \right\}$	د) مجموعه اعداد طبیعی زوج: $E=\left\{ 2,4,6,... \right\}$
ه) مجموعه اعداد طبیعی فرد: $O=\left\{ 1,3,5,... \right\}$	و) مجموعه اعداد گویا: $Q=\left\{ \left. \frac{a}{b} \right\|a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0 \right\}$

نمودار ون مجموعه‌ها

مجموعه‌ها را می‌توان داخل یک منحنی بسته‌ای نشان داد.

نکته: نمودار ون مجموعه اعداد طبیعی ریاضی ($N\subseteq W\subseteq Z\subseteq Q$) به صورت زیر است.

نمودار ون مجموعه اعداد طبیعی ریاضی

مثال
الف) عضوهای هر مجموعه را بنویسید.

$A=\left\{ \left. x \right|x\in Z,-4\le x \lt 2 \right\}=$
$\left\{ -4,-3,-2,-1,0,1 \right\}$
$B=\left\{ \left. 2x-1 \right|x\in N,x\le 3 \right\}=$
$\left\{ 2(1)-1,2(2)-1,2(3)-1 \right\}=\left\{ 1,3,5 \right\}$

ب) صورت ریاضی هر مجموعه را بنویسید.

$C=\left\{ -6,-5,...,3 \right\}=$
$\left\{ \left. x \right|x\in Z,-7\lt x \lt 4 \right\}$
$D=\left\{ 4,8,12,... \right\}=$
$\left\{ 4\left. x \right|x\in N \right\}$

اجتماع دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه A و B شامل همه عضوهایی است که حداقل در یکی از دو مجموعه A و B باشند و اجتماع دو مجموعه A و B را به صورت $A\bigcup B$ نمایش می‌دهند.

اشتراک دو مجموعه

اشتراک دو مجموعه A‌ و B شامل همه عضوهایی که هم عضو A و هم عضو B باشند و اشتراک دو مجموعه A و B را به صورت $A\bigcap B$ نمایش می‌دهند.

تفاضل دو مجموعه

مجموعه $A-B$ (A منهای B) شامل همه عضوهایی است که عضو مجموعه A باشند ولی عضو مجموعه B‌ نباشند.

مثال
اگر مجموعه $A=\left\{ 1,2,3 \right\}$ و $B=\left\{ \left. x \right|x\in Z,-2\lt x\le 2 \right\}$ و $C=\left\{ \left. {{x}^{2}}+1 \right|x\in A \right\}$ باشد. عضوهای هر مجموعه را بنویسید.

$B=\left\{ -1,0,1,2 \right\}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,C=\left\{ {{1}^{2}}+1,{{2}^{2}}+1,{{3}^{2}}+1 \right\}$
الف) $A-C$ $=\left\{ 1,3 \right\}$
ب) $B\bigcap (A\bigcup C)$
$=\left\{ -1,0,1,2 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,3,5,10 \right\}=\left\{ 1,2 \right\}$

مثال
با توجه به هر شکل مجموعه‌های داده شده را هاشور بزنید.

مجموعه و احتمال

برای به دست آوردن احتمال هر پیشامد از رابطه‌ی زیر استفاده می‌کنیم:

مثال
در پرتاب یک تاس احتمال‌های زیر را به‌دست آورید.
الف) احتمال آمدن عدد اول: $A=\left\{ 2,3,5 \right\}\Rightarrow P (A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
ب) احتمال آمدن عدد بزرگتر و مساوی 5: $B=\left\{ 5,6 \right\}\Rightarrow P (B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

مثال
در پرتاب دو تاس احتمال‌های زیر را به دست آورید.
الف) احتمال آمدن این که تاس اول عدد فرد و تاس دوم عدد کوچکتر از 3 بیاید:

کل حالت‌ها $n(S)={{6}^{2}}=36$
$A=\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 1,2 \right),\left( 3,1 \right),\left( 3,2 \right),\left( 5,1 \right),\left( 5,2 \right) \right\}\Rightarrow n(A)=6\Rightarrow P (A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

ب) احتمال آمدن این که مجموع هر دو تاس 6 شود:

$B=\left\{ \left( 1,5 \right),\left( 5,1 \right),\left( 2,4 \right),\left( 4,2 \right),\left( 3,3 \right) \right\}\Rightarrow n(B)=5\Rightarrow P (B)=\frac{5}{36}$