درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس نهم
درس 5: شکل‌های متشابه
- در تصويرهای زير، دو گل شبيه هم را می‌بينيد. آيا هر دو گل به طور کامل مثل هم‌اند؟ خیر
- در تصویرهای زیر دو عکس از یک کودک را می‌بینید. تفاوت این دو تصویر در چیست؟ اندازه
- تصویرهای زیر، عکس‌هایی از میدان آزادی تهران است. کدام یک به برج آزادی شبیه‌تر است؟ شکل سمت چپ
فعالیت (صفحهٔ 54 کتاب درسی)
1- مربع‌های صفحهٔ شطرنجی زیر به ضلع یک سانتی متر است:
اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های هر دو شکل را بنویسید:
چه رابطه‌ای بین ضلع‌های متناظر دو شکل وجود دارد؟ همۀ ضلع‌های متناظر از شکل (1) دو برابر ضلع‌های نظیر از شکل (2) است.
چه رابطه‌ای بین زاویه‌های متناظر دو شکل وجود دارد؟ همۀ زاویه‌های متناظر از شکل (1) و شکل (2) برابرند.
اندازهٔ ضلع‌های شکل (1) چند برابر اندازهٔ ضلع‌های شکل (2) است؟ دو برابر
در صفحهٔ شطرنجی مقابل یک چند ضلعی رسم کنید و چند ضلعی دیگری مانند آن بکشید؛ به طوری که اندازهٔ ضلع‌هایش ٢ برابر شکل اوّل باشد.
2- در تصویر زیر، نقشهٔ قسمتی از شهر تهران را می‌بینید. مقیاس نقشه 1 به 100,000 است؛ یعنی هر یک سانتی متر روی نقشه با 100,000 سانتی متر مقدار واقعی برابر است. فاصلهٔ دو میدان انقلاب و آزادی را پیدا کنید.
با اندازه‌گیری روی نقشه، این فاصله حدود 6/8 سانتی‌متر است. این فاصله را در مقیاس نقشه ضرب می‌کنیم تا مقدار واقعی به دست آید.
$6/8Cm\times 100,000=680000Cm=6800m$
3- شکل زیر را با دستگاه کپی کوچک کرده‌ایم. عدد روی دستگاه 50٪ را نشان می‌داد. تصویر خروجی را شما رسم کنید.
شکل خروجی، شبیه ورودی است با این تفاوت که اندازه همۀ ضلع‌های آن نصف شده است. زاویه‌های متناظر از شکل خروجی با ورودی برابر است.
کار در کلاس (صفحهٔ 55 کتاب درسی)
1- آیا دو مربع زیر متشابه‌اند؟ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های هر کدام را بنویسید. چه رابطه‌ای بین ضلع‌ها و زاویه‌های دو شکل وجود دارد؟
بله. زاویه‌ها که در هر دو یکسان است و اندازۀ ضلع‌های مربع سبز، 2 برابر اندازۀ ضلع‌های مربع نارنجی است.
آیا می‌توان گفت هر دو مربع دلخواه با هم متشابه‌اند؟ چرا؟
بله. زاویه‌ها که در هر دو مربع دلخواه برابر هستند و چون اندازۀ ضلع‌های یک مربع با هم مساوی است، پس نسبت اضلاع یکی از مربع‌ها به دیگری برای همۀ ضلع‌ها، مقدار ثابتی است.
2- از مستطیل‌های زیر کدام با هم متشابه‌اند؟ چرا؟
مستطیل 1 و 3 متشابهند. چون فقط نسبت اضلاع مستطیل 1 به 3 مقدار ثابتی است.
$\frac{R1}{R3}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}=2$
$\frac{R1}{R2}=\frac{8}{4}\ne \frac{2}{2}$
$\frac{R2}{R3}=\frac{4}{4}\ne \frac{2}{1}$
آیا هر دو مستطیل دلخواه با هم متشابه‌اند؟
خیر، چون ممکن است نسبت طول‌های دو مستطیل با نسبت عرض‌های آنها برابر نباشد.
فعالیت (صفحهٔ 56 کتاب درسی)
دو مثلث زیر با هم متشابه‌اند. ضلع‌های متناظر و زاویه‌های متناظر را همرنگ کنید. نسبت ضلع‌های متناظر را بنویسید. آیا سه کسر برابر به دست آمد؟
سه کسر با هم برابرند یا نسبت اضلاع متناظر با هم برابر است.
$\frac{BC}{ED}=\frac{AB}{EF}=\frac{AC}{DF}\Rightarrow \frac{10}{5}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$
کار در کلاس (صفحهٔ 56 کتاب درسی)
1- با توجه به مربع صفحهٔ بعد، مربع دیگری رسم کنید؛ به گونه‌ای که نسبت تشابه دو مربع $\frac{1}{2}$ باشد. این سؤال چند پاسخ دارد؟ چرا؟
دو مربع متشابه با مربع A وجود دارد که نسبت تشابه دو مربع نسبت به هم برابر $\frac{1}{2}$ باشد. در واقع مربع B، نصف مربع A و مربع C، دو برابر مربع A است.
$\frac{BA}{A}=\frac{1}{2}$
$\frac{A}{C}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
2- در صفحهٔ مختصات، نقاط زیر را پیدا کنید:
مثلث $A=\left[ \frac{1}{2} \right]\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}B=\left[ \frac{1}{0} \right]\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}C=\left[ \frac{3}{0} \right]\begin{matrix}
ABC \\
\end{matrix}$
مثلث $A'=\left[ \frac{3}{2} \right]\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}B'=\left[ \frac{3}{6} \right]\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}C'=\left[ \frac{7}{2} \right]\begin{matrix}
A'B'C \\
\end{matrix}'$
طول ضلع‌های دو مثلث را بنویسید و تشابه آنها را بررسی کنید، در صورت متشابه بودن، نسبت تشابه را پیدا کنید.
دو مثلث متشابه هستند و نسبت تشابه ببه صورت زیر است.
$\begin{align}
& AB=2,BC=2,AC=2\sqrt{2} \\
& {A}'{B}'=4,{A}'{C}'=4,{B}'{C}'=4\sqrt{2} \\
& \frac{AB}{{A}'{B}'}=\frac{BC}{{A}'{C}'}=\frac{AC}{{B}'{C}'}=\frac{1}{2} \\
& \frac{A}{C}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
\end{align}$
تمرین (صفحهٔ 57 کتاب درسی)
١- آیا هر دو شکل هم نهشت با هم، متشابه نیز هستند؟ در صورت متشابه بودن نسبت تشابه چند است؟
بله، هر دو شکل همنهشت، با نسبت تشابه 1، متشابه نیز هستند. زیرا هر دو شکل همنهشت زاویه‌ها و ضلع‌های برابری دارند. بنابراین نسبت تشابه اضلاع متناظر آنها برابر 1 است.
٢- آیا هر دو لوزی متشابه‌اند؟ چرا؟
اگر چه نسبت اضلاع متناظر در دو لوزی دلخواه برابر مقدار یکسانی است، ولی زاویه‌های متناظر آنه ممکن است، برابر نباشند. دو لوزی در صورتی متشابهند که زاویه‌های متناظر آنها با هم برابر باشد.
٣- در یک نقشه، مقیاس 1:200 است. فاصلهٔ دو نقطه روی نقشه 3/5 سانتی‌متر است. فاصلهٔ این دو نقطه در اندازهٔ واقعی چقدر است؟
$\frac{1}{200}=\frac{3/5}{x}\Rightarrow x=200\times 3/5Cm=700Cm$
٤- آیا هر دو مثلث متساوی الاضلاع متشابه‌اند؟ چرا؟
بله، چون زاویه‌های آنها برابر 60 درجه و نسبت اضلاع متناظر هم برابر مقدار یکسانی است.
5- آیا هر دو مثلث متساوی الساقین متشابه‌اند؟ چرا؟
خیر، چون زاویه‌های مشابهی ندارند و همچنین نسبت ضلع سوم (ضلعی که ساق نیست) آنها با نسبت ساق‌ها برابر نیست.
6- مثلث ABC به ضلع‌های 4 و 5 و 8 با مثلث DEF به ضلع x-1 و x+7 با هم متشابه‌اند (اندازهٔ ضلع‌های مثلث‌ها، از کوچک به بزرگ نوشته شده است) مقدار x پیدا کنید.
نسبت تشابه این دو مثلث برابر 2 است.
$\frac{x-1}{4}=\frac{10}{5}=\frac{x+7}{8}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
x-1=8 \\
x+7=16 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow x=9$
7- کدام مثلث با مثلث ABC متشابه است؟
برای تشابه دو مثلث، اولین شرط آن است که نوع مثلث‌ها مثل هم باشد. در این مورد به نظر می‌آید که مثلث ABC قائم‌الزاویه است. پس این مثلث فقط با مثلث‌های قائم‌الزوایه می‌تواند متشابه باشد.
8- در شکل زیر
الف) مقادیر x و y را بیابید (به کمک قضیهٔ فیثاغورس)
${{x}^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}$
${{x}^{2}}=36+64$
${{x}^{2}}=100$
$x=\sqrt{100}=10$
${{y}^{2}}={{4}^{2}}+{{3}^{2}}$
${{y}^{2}}=16+9$
${{y}^{2}}=25$
$y=\sqrt{25}=5$
ب) آیا دو مثلث ABO و $A'B'O$ متشابه‌اند؟ چرا؟ بله زیرا اضلاع متناسب و زاویه‌های مساویند.