درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی کلاس نهم

1- در شکل‌های زیر، دو مثلثِ داخل هر کادر با یکدیگر هم‌نهشت اند. اندازهٔ پاره خط‌ها و زاویه‌های مجهول را روی شکل مشخص کنید:

2- در شکل زیر چهارمثلث رسم شده که دو به دو با یکدیگر هم‌نهشت اند. ابتدا مثلث‌های هم‌نهشت را مشخص کنید و سپس اندازه‌های مجهول را که با «؟» مشخص شده، تعیین نمایید (زاویه‌هایی که با یک حرف مشخص شده با هم مساوی است).

در نزدیکی منزل ترانه و شهرزاد، بوستانی هست که در آن یک پل فلزی به شکل نیم دایره وجود دارد بچه‌ها برای بازی از پله‌های آن بالا می‌روند.
می‌دانیم فاصلهٔ ابتدای پل (نقطهٔ A) از انتهای آن (نقطهٔ B) 10 متر است. ترانه روی پلهٔ C نشسته است که از انتهای پل 6 متر فاصله دارد (BC=6) و شهرزاد روی پلهٔ D نشسته است که از ابتدای پل همین مقدار فاصله دارد.

آنها حدس می‌زنند که باید فاصله‌شان از پایه‌های مقابل برابر باشد؛ یعنی AC=BD. درستی حدس آنها را به دو روش ثابت کنید.

1- نشان دهید زاویه‌های $\widehat{C}$ و $\widehat{D}$ در شکل، قائمه است. طول‌های AC و BD را به کمک قضیهٔ فیثاغورس محاسبه کنید و نشان دهید: AD=BC
زاویه‌های $\widehat{D}$ و $\widehat{C}$ روبه‌روی قطر دایره هستند و زاویه محاطی روبروی قطر برابر 90 درجه است.

$\left. \begin{align}
  & B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}-A{{D}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow BD=\sqrt{64}=8 \\
 & A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow AC=\sqrt{64}=8 \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow AC=BD$

٢- به کمک هم‌نهشتی مثلث‌های ACB و ADB، نشان دهید AC=BD.

$\left. \begin{align}
  & AD=BC \\
 & AB=AB \\
\end{align} \right\}\quad \Rightarrow \overset{\vartriangle }{\mathop ADB}\,\cong \overset{\vartriangle }{\mathop ACB}\,\quad \Rightarrow AC=BD$

در شکل مقابل ABCD لوزی است و نقطه‌های M و N وسط‌های اضلاع CD و CB هستند. می‌خواهیم نشان دهیم. $\overset{\Delta }{\mathop{ADM}}\,\cong \overset{\Delta }{\mathop{ABN}}\,$

1- با توجه به ویژگی‌های لوزی، تساوی‌های زیر را کامل کنید:

$\left\{ \begin{align}
  & AD=AB=BC=DC\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}BN=CN \\
 & \overset{\wedge }{\mathop{A}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{C}}\,\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{D}}\,\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}DM=CM \\
\end{align} \right.$ فرض

$\overset{\Delta }{\mathop{ADM}}\,\cong \overset{\Delta }{\mathop{ABN}}\,$ :حکم

2- با توجه به نتیجهٔ قسمت (1) و تساوی‌های قسمت اوّل، ثابت کنید مثلث‌های ABN و ADM هم‌نهشت‌اند.

$\left. \begin{align}
  & AD=AB \\
 & BN=DM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}DC \\
 & \overset{\wedge }{\mathop{B}}\,=\overset{\wedge }{\mathop{D}}\, \\
\end{align} \right\}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow \overset{\vartriangle }{\mathop{ADM\cong }}\,\overset{\vartriangle }{\mathop{ABN}}\,$

٣- حال با توجه به هم‌نهشتی دو مثلث ABN و ADM، اجزای متناظر آنها را بنویسید.

$AN=AM\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\overset{\hat{\ }}{\mathop{ANB}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{AMD}}\,\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\overset{\hat{\ }}{\mathop{DAM}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{BAN}}\,$