درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم

درس 2: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها

بازدید26/7 K

تاریخ بروزرسانی1400/01/25

دو مجموعۀ برابر

1- جدول عددهای صحیحِ زیر را طوری کامل کنید که مجموع عددهای روی هر سطر، هر ستون و هر قطرِ آن برابر ١٢ شود؛ سپس مجموعهٔ عددهای سطر دوم جدول را بنویسید و آن را A بنامید. $A=\left\{ 6,4,2 \right\}$

اکنون مجموعه B را چنان بنویسید که شامل سه عدد زوج متوالی و میانگین عضوهای آن با 4 برابر باشد. هریک از مجموعه‌های A و B چند عضو دارد؟ $B=\left\{ 2,4,6 \right\}$

آیا هر عضو A در مجموعهٔ B است؟ بله
آیا هر عضو B در مجموعهٔ A است؟ بله

همان طور که ملاحظه کردید، عضوهای دو مجموعهٔ A و B یکسان‌اند و هر عضو A، عضوی از B و هر عضو B، عضوی از A است؛ در این صورت دو مجموعهٔ A و B برابراند و می‌نویسیم: $A=B$

2- مجموعهٔ A شامل سه عدد طبیعی متوالی است به طوری که حاصل جمع آنها برابر 27 است. ابتدا A را با عضوهای آن بنویسید؛ سپس مجموعه‌هایی را مشخص کنید که در زیر معرفی شده و با A برابر است: $A=\left\{ 8,9,10 \right\}$

الف) مجموعهٔ عددهای طبیعی بین 6 و 10: $A=\left\{ 7,8,9 \right\}$
ب) مجموعهٔ عددهای طبیعی بزرگ‌تر از ٧ و کوچک‌تر از 11: $B=\left\{ 8,9,10 \right\}$
ج) مجموعهٔ سه عدد طبیعی متوالی که میانگین آنها با 9 برابر است: $C=\left\{ 8,9,10 \right\}$

همان‌طور که دیدید، مجموعهٔ $\left\{ 8,9,10 \right\}$ با مجموعهٔ $\left\{ 7,8,9 \right\}$ برابر نیست؛ زیرا همهٔ عضوهایشان یکسان نیست.
اگر عضوی در A باشد که در B نباشد یا عضوی در B‌باشد که عضو A نباشد، در این صورت مجموعهٔ A با B برابر نیست و می‌نویسیم $A\ne B$.

1- جاهای خالی را در مجموعه‌های زیر طوری پرکنید که مجموعه‌ها برابر باشد:
الف) $\left\{ 5,3,\frac{2}{5},4,\frac{9}{3} \right\}=\left\{ \frac{5}{2},3,\frac{-\sqrt{144}}{{{\left( -2 \right)}^{2}}},4,\sqrt{25} \right\}$.
ب) $\left\{ 7,\frac{4}{10},\sqrt{\frac{4}{9},}-\frac{1}{2},-2,0/625 \right\}=\left\{ \frac{2}{3},\frac{2}{5},-0/5,\frac{5}{8},7,-2 \right\}$

2- دو مجموعه به نام های A و B مانند سؤال بالا طرح کنید. پاسخ خود را با دوستانتان مقایسه کنید.
$A=\left\{ 1,23,-1,\frac{3}{5} \right\}$
$B=\left\{ {{1}^{4}},\sqrt[3]{27},-\sqrt{\frac{9}{25}},\sqrt[3]{-1},(\frac{8}{4}) \right\}$

زیر مجموعه

مجموعه‌ٔ عددهای جدول فعالیت قبل را D بنامید؛ سپس عضوهای مجموعه D را در نمودار وِن روبه‌رو بنویسید:

$D=\left\{ 10,-10,12,6,4,2,-4,18,-2 \right\}$

در نمودار بالا، عضوهایی را که بر 3 بخش پذیر است با یک منحنی بسته مشخص کنید و B بنامید. $B=\left\{ 6,12,18 \right\}$

مجموعه B را بنویسید. آیا هر عضو B، عضوی از D نیز هست؟ بله
در مجموعه D، عددهای زوج را مشخص کنید و آن را C بنامید؛ $C=\left\{ 10,6,2,12,18 \right\}$ آیا $D=C$؟ خیر

همان طور که دیدید، عضوهای مجموعهٔ B همگی در D هست؛ یعنی هر عضو B، عضوی از D است؛ در این صورت مجموعهٔ B زیر مجموعهٔ D است و می‌نویسیم $B\subseteq D$

آیا مجموعه C زیر مجموعه D است؟ خیر

با توجه به تعریف زیر مجموعه، واضح است که هر مجموعه، زیر مجموعهٔ خودش هست؛ یعنی اگر A مجموعه‌ای دلخواه باشد، داریم: $A\subseteq A$

اکنون زیرمجموعه‌ای از D را مشخص کنید که عضوهای آن عددهای فرد باشد؛ نام دیگر این مجموعه چیست؟ $\left\{ {} \right\}$- تهی

آیا عبارت $\left\{ 10,4,-6,2 \right\}\subseteq D$ درست است؟ چرا؟ خیر- زیرا $-6\notin D$

اگر بتوانیم عضوی در B‌ بیابیم که در A نباشد، می‌گوییم B زیر مجموعهٔ A نیست و می‌نویسیم $B{\nsubseteq }A$

آیا در مجموعهٔ تُهی عضوی هست که در مجموعهٔ دلخواهی مانند A نباشد؟ خیر

مجموعهٔ تهی زیرمجموعهٔ هر مجموعه ای دلخواه مانند A است؛ یعنی؛ $\varnothing \subseteq A$

مثال:
الف) $\left\{ a,b,d \right\}\nsubseteq \left\{ a,b,c,e \right\}$، زیرا در مجموعهٔ سمت چپ، d هست که در مجموعه سمت راست نیست.
ب) $\left\{ -1,0,1,3 \right\}\subseteq \left\{ 4,3,0,1,-1,2 \right\}$ زیرا هر عضو مجموعهٔ سمت چپ، عضوی از مجموعهٔ سمت راست است.
ج) با توجه به شکل زیر $A\subseteq B$ درست است؛ زیرا همهٔ عضوهای A در B قرار دارند و $B\nsubseteq A$ درست است؛ زیرا عضوی در B مانند 2 می‌توان یافت که در A وجود ندارد.

1- با توجه به نمودار زیر، دلیل درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را مشخص کنید:

عبارت	وضعیت	دلیل
$A\nsubseteq C$	نادرست	همهٔ عنصرهای A در C هستند.
$B\subseteq A$	نادرست	عنصرهایی از B در A نیستند.($B \gt A$)
$C\nsubseteq A$	نادرست	عنصرهایی از C در A نیستند.
$\varnothing \subseteq A$	درست	تهی زیر مجموعه هر مجموعه‌ای است.
$B\subseteq C$	درست	همهٔ اعضای B در C هستند.
$A\subseteq B$	درست	همهٔ اعضای A در B هستند.

2- مجموعه‌های A، B و C را در نظر بگیرید؛ سپس درستی یا نادرستی عبارت های زیر را مشخص کنید (با ذکر دلیل):

$A=\left\{ 1,3,6,4 \right\}$
$B=\left\{ 5,1,3 \right\}$
$C=\left\{ 2,5,1,3,6 \right\}$

عبارت	وضعیت	دلیل
$B\nsubseteq A$	درست	$5\notin A$
$3\subseteq B$	نادرست	$3\in B$
$A\subseteq B$	نادرست	$6,4\notin B$
$B\subseteq C$	درست	همهٔ اعضای B در C هستند.
$A\nsubseteq C$	نادرست	$4\notin C$
$2\in A$	نادرست	عدد 2 بین $A=\left\{ 1,3,6,4 \right\}$ نیست.
$\left\{ 1.4 \right\}\in A$	نادرست
$6\notin A$	نادرست	عدد 6 بین $A=\left\{ 1,3,6,4 \right\}$ هست.
$\left\{ 5,6 \right\}\subseteq C$	درست
$5\in C$	درست	عدد 5 بین $C=\left\{ 2,5,1,3,6 \right\}$ هست.
$0\subseteq A$	نادرست	عدد 0 در $A=\left\{ 1,3,6,4 \right\}$ جای ندارد.

3- همهٔ زیرمجموعه‌های $A=\left\{ a,b,c \right\}$ در زیر نوشته شده است:

$\varnothing ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ c \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ a,c \right\},\left\{ b,c \right\},\left\{ a,b,c \right\}$

مانند نمونه، تمام زیرمجموعه‌های هریک از مجموعه‌های زیر را بنویسید:
الف) مجموعهٔ عددهای طبیعی بین 9 و 12.

$\left\{ 10 \right\},\left\{ 11 \right\},\left\{ 12 \right\},\left\{ 10,11 \right\},\left\{ 10,12 \right\},\left\{ 11,12 \right\}\left\{ 10,11,12 \right\}$

ب) $\left\{ a,b,c,d \right\}$

$\varnothing ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ c \right\},\left\{ d \right\},\left\{ a,b \right\},\left\{ a,c \right\},\left\{ a,d \right\},\left\{ b,c \right\},\left\{ b,d \right\},\left\{ c,d \right\},\left\{ a,b,c \right\},\left\{ a,b,d \right\},\left\{ b,c,d \right\},\left\{ c,d,a \right\},\left\{ a,b,c,d \right\}$

نمایش مجموعه‌های اعداد

در سال‌های گذشته با عددهای طبیعی آشنا شده‌اید؛ از این عددها برای شمارش استفاده می‌کنیم.

مجموعهٔ عددهای طبیعی را با $\mathbb{N}$ نمایش می‌دهیم و آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

$\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,4,5,.... \right\}$

تاکنون نمایش مجموعه‌ها را با عضوها و نمودار وِن آموخته‌اید. یک روش دیگر برای نمایش مجموعه‌ها استفاده از نمادهای ریاضی است؛ برای مثال: مجموعهٔ عددهای طبیعی زوج $E=\left\{ 2,4,6,8,... \right\}$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم عضوهای این مجموعه خاصیت مشترکی دارد؛ یعنی همگی آنها مضرب ٢، است و از قبل می‌دانیم که هر عدد زوج طبیعی به صورت 2k قابل نمایش است که در آن $k\in \mathbb{N}$، پس می‌نویسیم:

$E=\left\{ \left. 2k \right|k\in \mathbb{N} \right\}$

و می‌خوانیم E برابر است با مجموعهٔ عددهایی به شکل 2k به طوری که k متعلق به مجموعهٔ عددهای طبیعی است. در مجموعهٔ E علامت «|» خوانده می‌شود: «به طوری که». در زیر چند مجموعه را با نمادهای ریاضی نوشته‌ایم:

الف) مجموعهٔ عددهای طبیعی فرد: $O=\left\{ \left. 2k-1 \right|k\in \mathbb{N} \right\}$
ب) $A=\left\{ 7,8,9,10 \right\}$: $A=\left\{ \left. x\in \mathbb{N} \right|6 \lt x \lt 11 \right\}/A=\left\{ \left. x\in \mathbb{N} \right|7\le x\le 10 \right\}$
ج) زیر مجموعه‌ای از $\mathbb{N}$ که عضوهای آن همگی بر 3 بخش‌پذیر است: $\left\{ \left. 3k \right|k\in \mathbb{N} \right\}$

مثال:
مجموعهٔ $A=\left\{ \left. 5n+3 \right|n\in \mathbb{N} \right\}$ را با عضوهایش مشخص کنید.
برای این منظور جدول زیر را کامل کنید و در هر مرحله به جای n یک عدد طبیعی در $5n+3$ قرار دهید.

...	7	6	5	4	3	2	1	n
...	$\underbrace{5(7)+3}_{38}$	$\underbrace{5(6)+3}_{33}$	$\underbrace{5(5)+3}_{28}$	$\underbrace{5(4)+3}_{23}$	$\underbrace{5(3)+3}_{18}$	$\underbrace{5(2)+3}_{13}$	$\underbrace{5(1)+3}_{8}$	$5n+3$

بنابراین داریم: $A=\left\{ 8,13,18,23,28,33,38,... \right\}$

مجموعهٔ عددهای حسابی را با نمایش می‌دهند: $\mathbb{W}=\left\{ 0,1,2,3,... \right\}$

مجموعهٔ عددهای حسابی را می‌توان با نمادهای ریاضی به صورت $\mathbb{W}=\left\{ \left. k-1 \right|k\in \mathbb{N} \right\}$ نوشت.

هر عدد طبیعی یک عدد حسابی است؛ یعنی $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{W}$

مجموعهٔ عددهای صحیح را با $\mathbb{Z}$ نمایش می‌دهیم: $\mathbb{Z}=\left\{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... \right\}$

همهٔ عددهای طبیعی و حسابی، عضو $\mathbb{Z}$ هم هستند؛ پس: $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z}$

مجموعه‌های زیر را با عضوها مشخص کنید:
الف) مجموعهٔ عددهای صحیح فرد: $\left\{ ...,-3,-1,1,3,5,7,... \right\}$
ب) $A=\left\{ \left. x \right|x\in \mathbb{Z},-5\le x<5 \right\}$: $\left\{ -5,-4,-3,-2,...,1,2,3,4 \right\}$
ج) $B=\left\{ \left. 3k+2 \right|k\in \mathbb{Z} \right\}$: $\left\{ ....,-4,-1,2,5,8,10,... \right\}$

مجموعه عددهای گویا را با $\mathbb{Q}$ نمایش می‌دهیم. چون اولین عدد گویای بزرگ‌تر از هر عدد گویا مشخص نیست، نمی‌توان این مجموعه را با عضوها مشخص کرد؛ به همین دلیل مجموعهٔ عددهای گویا را با نمادهای ریاضی تعریف می‌کنیم: $\mathbb{Q}=\left\{ \left. \frac{a}{b} \right|a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0 \right\}$
توجه کنید که هر عدد صحیح، عددی گویا است؛ یعنی برای هر عدد صحیح a داریم: $a=\frac{a}{1}$، در نتیجه $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$.

1- مجموعهٔ $A=\left\{ -2,-1,0,1,2 \right\}$ را در نظر بگیرید. کدام یک از مجموعه‌های زیر با هم برابر است؟ C و B

$B=\left\{ \left. x \right|x\in A,{{x}^{2}}\le 2 \right\}$: $B=\left\{ -1,0,1 \right\}$
$C=\left\{ \left. x \right|x\in A,-1\le x\le 1 \right\}$: $C=\left\{ -1,0,1 \right\}$
$D=\left\{ \left. x \right|x\in A,{{x}^{4}}=1 \right\}$: $D=\left\{ -1,1 \right\}$

2- سه مجموعه مانند A و B و C بنویسید به طوری که $A\subseteq B$ و $B\subseteq C$. آیا می توان نتیجه گرفت$A\subseteq C$؟ بله

$A=\left\{ 1 \right\}$
$B=\left\{ 1,2 \right\}$
$C=\left\{ 1,2,3 \right\}$

3- تمام زیرمجموعه‌های هریک از مجموعه‌های زیر را بنویسید:

الف) $A=\left\{ \left. x \right|x\in \mathbb{N},2x+1=3 \right\}$

$A=\left\{ 1 \right\}\to \varnothing ,\left\{ 1 \right\}$

ب)‌ $B=\left\{ \left. 2x \right|x=0,2,3 \right\}$

$B=\left\{ 0,4,6 \right\}\to \varnothing ,\left\{ 0 \right\},\left\{ 4 \right\},\left\{ 6 \right\},\left\{ 0,4 \right\},\left\{ 0,6 \right\},\left\{ 4,6 \right\},\left\{ 0,4,6 \right\}$

4- نمودار زیر، وضعیت مجموعه‌های $\mathbb{Q}$، $\mathbb{W}$، $\mathbb{N}$ و $\mathbb{Z}$ را نسبت به هم نشان می‌دهد؛ آنها را نام گذاری و با علامت $\subseteq $ باهم مقایسه کنید.

$\mathbb{N}\subseteq \mathbb{W} \subseteq \mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$

5- درستی یا نادرستی عبارت‌های زیر را با ذکر دلیل مشخص کنید:

عبارت	وضعیت	دلیل
الف) هر عدد گویا عددی حسابی است.	نادرست	$\frac{1}{3}\in \mathbb{Q}$
ب) هر عدد حسابی عددی گویا است.	درست	$\mathbb{W} \subseteq \mathbb{Q}$
ج) هر عدد صحیح عددی گویا است.	درست	$\frac{1}{3}\notin \mathbb{W}$
د) بعضی از عددهای گویا، عدد صحیح است	درست	$\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}$

بیشتر بیاموزید:

تدریس آنلاین صفحه 6 تا 10 ریاضی نهم | مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها
تدریس آنلاین صفحه 6 تا 10 ریاضی نهم | درس 2: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها
آزمون آنلاین فصل 1 ریاضی نهم | درس دوم: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها
آزمونک ریاضی نهم مدرسه شهید بهشتی | فصل 1 | درس 2: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها
نمونه سوالات ریاضی نهم | فصل 1: مجموعه ها (درس دوم: مجموعه های برابر و نمایش مجموعه ها)

درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم

درس 2: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها

دو مجموعۀ برابر

فعالیت (صفحه 6 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحه 6 کتاب درسی)

زیر مجموعه

فعالیت (صفحه 7 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحه 8 کتاب درسی)

نمایش مجموعه‌های اعداد

کار در کلاس (صفحه 10 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 10 کتاب درسی)