مجموعه‌های برابر: وقتی اعضا یکسان هستند
مجموعه چیست و برابری چگونه تعریف می‌شود؟
یک مجموعه، گردآوری از اشیاء مشخص و متمایز است. این اشیاء، اعضای۲ مجموعه نامیده می‌شوند. برای مثال، مجموعه‌ی میوه‌های داخل یک سبد را در نظر بگیرید: اگر در سبد شما یک سیب، یک موز و یک پرتقال باشد، مجموعه‌ی میوه‌های شما سه عضو دارد.
دو مجموعه را برابر می‌نامیم اگر و تنها اگر هر عضوی که در مجموعه‌ی اول باشد، در مجموعه‌ی دوم نیز وجود داشته باشد و برعکس، هر عضوی که در مجموعه‌ی دوم باشد، در مجموعه‌ی اول نیز باشد. به زبان ساده‌تر، این دو مجموعه دقیقاً اعضای یکسانی دارند، حتی اگر ترتیب نوشتن آن اعضا متفاوت باشد.
اگر $ A $ و $ B $ دو مجموعه باشند، تساوی $ A = B $ برقرار است اگر و تنها اگر $ \forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) $. این نمادهای ریاضی فقط می‌گویند: "هر xای در A باشد، در B نیز هست و برعکس".
مقایسه مجموعه‌های برابر و نابرابر
برای درک بهتر، به مثال‌های زیر توجه کنید. فرض کنید مجموعه‌ی A شامل روزهای تعطیل اصلی مدرسه در پاییز باشد و مجموعه‌ی B نیز شامل همان روزها.
| شرح مجموعه | نماد مجموعه‌ها | وضعیت برابری |
|---|---|---|
| A = {سیب، پرتقال، موز} B = {پرتقال، موز، سیب} |
A = B | برابر |
| C = {مداد، پاک‌کن، خودکار} D = {مداد، پاک‌کن} |
C ≠ D | نابرابر |
| E = {اعداد زوج بین 1 تا 5} F = {2, 4} |
E = F | برابر |
کاربرد مفهوم برابری در زندگی روزمره
این مفهوم به ظاهر ساده، در بسیاری از موقعیت‌های زندگی کاربرد دارد. وقتی شما و دوستتان فهرست خرید دارید، اگر هر دو فهرست، دقیقاً موارد یکسانی را شامل شوند، این دو فهرست، مجموعه‌های برابر هستند. یا وقتی معلم می‌خواهد مطمئن شود همه‌ی دانش‌آموزان کلاس در اردو حاضر هستند، مجموعه‌ی اسامی دانش‌آموزان حاضر را با مجموعه‌ی اسامی تمام کلاس مقایسه می‌کند. اگر این دو مجموعه برابر باشند، یعنی کسی غایب نیست.
حتی در برنامه‌نویسی کامپیوترها، وقتی دو لیست از داده‌ها را مقایسه می‌کنند تا ببینند آیا محتوای یکسانی دارند یا خیر، در حال استفاده از همین مفهوم هستند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر، اصلاً مهم نیست. مجموعه {موز، سیب، پرتقال} با مجموعه {پرتقال، موز، سیب} کاملاً برابر است زیرا هر دو دقیقاً شامل سه عضو یکسان هستند.
در نظریه مجموعه‌ها، تکرار اعضا بی‌معنی است. مجموعه {سیب، سیب، پرتقال} در واقع همان {سیب، پرتقال} محسوب می‌شود. بنابراین، اگر مجموعه‌ای یک عضو تکراری داشته باشد، آن را فقط یک بار می‌شماریم.
خیر. مجموعه‌ی تهی۳ هیچ عضوی ندارد، اما مجموعه‌ی {0} یک عضو (عدد صفر) دارد. پس این دو مجموعه برابر نیستند.
پاورقی
۱مجموعه (Set): به گردآوری مشخص از اشیاء متمایز گفته می‌شود.
۲عضو (Element/Member): هر یک از اشیائی که یک مجموعه را تشکیل می‌دهند.
۳مجموعه‌ی تهی (Empty Set): مجموعه‌ای که هیچ عضوی ندارد و با نماد $ \varnothing $ یا {} نشان داده می‌شود.
