بخش‌پذیری چندجمله‌ای $x^n + a^n$ بر $x + a$ هنگامی که $n$ فرد است
چرا و چگونه $(x + a)$ در توان فرد یک عامل مشترک است؟
برای درک بخش‌پذیری $x^n + a^n$ بر $x + a$ در حالت فرد بودن $n$، باید به اتحاد معروف چاقی توجه کنیم. این اتحاد می‌گوید: $x^n + a^n = (x + a)(x^{n-1} - x^{n-2}a + x^{n-3}a^2 - ... + a^{n-1})$، به شرطی که $n$ عددی فرد باشد. اگر $n$ زوج باشد، علامت آخرین جمله در پرانتز دوم مثبت می‌شود و عبارت به $x^n - a^n$ مربوط می‌شود.
به عبارت دیگر، چندجمله‌ای $x^n + a^n$ برای $n$ فرد را می‌توان به صورت حاصل‌ضرب $(x + a)$ در یک چندجمله‌ای دیگر نوشت. از آنجا که در این حاصل‌ضرب، عامل $(x + a)$ ظاهر می‌شود، بنابراین تقسیم بر $x + a$ بدون باقی‌مانده خواهد بود.
قضیه باقی‌مانده؛ ابزاری برای اثبات بدون اتحاد
برای اثبات بخش‌پذیری یک چندجمله‌ای مانند $P(x)$ بر $x - c$، کافی است $P(c) = 0$ را نشان دهیم. در اینجا مقسوم‌علیه ما $x + a$ است که می‌توان آن را به صورت $x - (-a)$ نوشت. پس طبق قضیه باقی‌مانده، اگر $P(-a) = 0$ شود، آنگاه $x + a$ یک عامل (و در نتیجه تقسیم‌پذیر) خواهد بود.
تعریف می‌کنیم $P(x) = x^n + a^n$. مقدار $P(-a)$ را محاسبه می‌کنیم: $P(-a) = (-a)^n + a^n$. اگر $n$ فرد باشد، $(-a)^n = -a^n$. بنابراین $P(-a) = -a^n + a^n = 0$. از آنجا که مقدار چندجمله‌ای در $x = -a$ صفر شد، نتیجه می‌گیریم که $x + a$ یک عامل از $x^n + a^n$ است. این اثبات بسیار ساده‌تر از نگارش مستقیم اتحاد چاقی است.
| شرط $n$ | عبارت $x^n + a^n$ | بخش‌پذیری بر $x + a$ | مثال |
|---|---|---|---|
| فرد ($n = 1,3,5,...$) | $x^n + a^n$ | بخش‌پذیر | $x^3 + 27$ بر $x+3$ |
| زوج ($n = 2,4,6,...$) | $x^n + a^n$ | بخش‌ناپذیر | $x^2 + 4$ بر $x+2$ بخش‌پذیر نیست |
کاربرد عملی: ساده‌سازی کسرهای جبری و حل معادلات
شناخت این بخش‌پذیری کمک می‌کند تا کسرهای جبری پیچیده را ساده کنیم. فرض کنید کسر $\frac{x^7 + 128}{x + 2}$ را داریم. چون $n = 7$ فرد است، می‌توانیم بدون انجام تقسیم طولانی، صورت را به $(x + 2) \times Q(x)$ تجزیه کنیم و کسر برابر $Q(x)$ می‌شود. همچنین در حل معادله $x^5 + 32 = 0$، می‌توانیم از بخش‌پذیری بر $x + 2$ استفاده کرده و معادله را به $(x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16) = 0$ تبدیل کنیم که بلافاصله ریشه $x = -2$ را نتیجه می‌دهد.
چالش‌های مفهومی
پاسخ: خیر. با استفاده از قضیه باقی‌مانده، $P(-a) = (-a)^n - a^n = -a^n - a^n = -2a^n \neq 0$ (به جز $a = 0$ که مسئله بدیهی است). بنابراین $x^n - a^n$ فقط بر $x - a$ بخش‌پذیر است، نه $x + a$.
پاسخ: این قاعده مختص دوجمله‌ای به شکل $x^n \pm a^n$ است. برای چندجمله‌ای‌های کلی‌تر $P(x)$، شرط بخش‌پذیری بر $x + a$ همان $P(-a) = 0$ است که لزوماً به ساختار توانی خاصی منجر نمی‌شود.
پاسخ: به دلیل ضرب کردن $(x + a)$ در سری توانی با جمله عمومی $(-1)^k x^{n-1-k} a^k$. وقتی $n$ فرد است، تعداد جمله‌ها زوج خواهد بود و جمله آخر ($k = n-1$) علامت $(-1)^{n-1} = +1$ می‌گیرد، در نتیجه مجموع با $+a^{n-1}$ تمام می‌شود. این ساختار باعث حذف جمله‌های میانی پس از ضرب می‌گردد.
گام‌به‌گام با یک مثال عددی و جبری
فرض کنید می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا $x^5 + 243$ بر $x + 3$ بخش‌پذیر است یا خیر. گام‌ها:
- گام ۱ تشخیص دهید که $a = 3$ و $n = 5$ (فرد).
- گام ۲ مقدار $x = -a = -3$ را در چندجمله‌ای قرار دهید: $(-3)^5 + 243 = -243 + 243 = 0$.
- گام ۳ نتیجه بگیرید $x + 3$ یک عامل است و خارج قسمت را می‌توان با تقسیم سنتتیک یا اتحاد چاقی یافت: $x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 27x + 81$.
پاورقی
1 اتحاد چاقی (Sum of Powers Factorization): فرمول عاملی که مجموع توان‌های فرد دو متغیر را به صورت $x^n + y^n = (x + y)(x^{n-1} - x^{n-2}y + ... + y^{n-1})$ برای $n$ فرد نشان می‌دهد.
2 قضیه باقی‌مانده (Remainder Theorem): اگر چندجمله‌ای $P(x)$ بر $x - c$ تقسیم شود، باقی‌مانده برابر $P(c)$ است. در نتیجه اگر $P(c)=0$، آنگاه $x-c$ یک عامل از $P(x)$ خواهد بود.
