انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰

انقباض عمودی نمودار تابع: ضرب عرض نقاط در عدد k با 0 \lt k \lt 1

تعریف هندسی و جبری انقباض عمودی

انقباض عمودی¹ به تبدیلی گفته می‌شود که در آن y مختصات هر نقطهٔ روی نمودار تابع y = f(x) در عدد ثابت k (با شرط 0 \lt k \lt 1) ضرب می‌شود. حاصل، نمودار تابع جدید y = k \cdot f(x) است. از آنجا که مقدار k بین صفر و یک قرار دارد، ارتفاع هر نقطه نسبت به محور x کاهش می‌یابد و نمودار به سمت محور افقی فشرده می‌شود.

برای نمونه، تابع f(x) = x^2 را در نظر بگیرید. اگر k = 0.5 باشد، تابع جدید به صورت y = 0.5 x^2 نوشته می‌شود. نقطهٔ (2, 4) روی نمودار اولیه به نقطهٔ (2, 2) منتقل می‌شود که نشان‌دهندهٔ کاهش y است. این تبدیل را «انقباض عمودی» می‌نامند زیرا نمودار در جهت عمودی جمع‌تر می‌شود.

برای درک بهتر، یک داستان ساده بیان می‌کنیم: تصور کنید تصویری از یک کوه روی صفحهٔ نمایش دارید. اگر ارتفاع نقاط کوه را در عدد 0.6 ضرب کنید، کوه کمی پست‌تر می‌شود، اما عرض آن تغییر نمی‌کند. این همان عملی است که در انقباض عمودی رخ می‌دهد. به همین دلیل، گاهی به آن فشردگی قائم یا کاهش دامنه² نیز می‌گویند.

مقایسه انقباض عمودی با کشیدگی عمودی و انقباض افقی

یکی از اشتباهات رایج در میان دانش‌آموزان، یکسان گرفتن انقباض عمودی با انقباض افقی است. در انقباض عمودی، عرض (همان x) دست نخورده می‌ماند و تنها مختصات y تغییر می‌کند. اما در انقباض افقی، ورودی تابع (یعنی x) در عددی بزرگتر از یک ضرب می‌شود که باعث فشردگی از طرفین می‌گردد. همچنین اگر k \gt 1 باشد، از انقباظ خارج شده و به کشیدگی عمودی³ تبدیل می‌شود.

توجه داشته باشید که در انقباض عمودی، y مختصات نقاط روی محور x (یعنی نقاطی که y = 0) هستند، ثابت می‌مانند. همچنین طول‌هایی که روی محور x اندازه‌گیری می‌شوند، تغییری نمی‌کنند. این ویژگی باعث می‌شود تا رویدادهایی مانند برخورد نمودار با محور x (ریشه‌های تابع) بدون تغییر باقی بمانند.

مراحل گام‌به‌گام اعمال انقباض عمودی روی یک تابع مشخص

برای اعمال انقباض عمودی روی هر تابعی، کافی است مراحل زیر را طی کنید:

• گام اول: تابع اولیه را به صورت $y = f(x)$ بنویسید.
• گام دوم: عدد $k$ را که بین صفر و یک است تعیین کنید (مثلاً $k = 0.75$).
• گام سوم: تابع جدید را به صورت $y = k \cdot f(x)$ تشکیل دهید.
• گام چهارم: جدول مقادیر را برای چند نقطهٔ کلیدی (مانند نقاط ماکزیمم، مینیمم، نقاط عطف و نقاط روی محورها) بازنویسی کنید و مختصات $y$ را در $k$ ضرب نمایید.
• گام پنجم: نقاط جدید را روی صفحهٔ مختصات رسم کرده و به‌آرامی به هم وصل کنید.

مثال عددی: تابع $f(x) = 3 \sin(x)$ را در نظر بگیرید. اگر $k = 0.5$ باشد، تابع جدید برابر $y = 1.5 \sin(x)$ می‌شود. دامنهٔ (دامنه تغییرات) تابع از $[-3, 3]$ به $[-1.5, 1.5]$ کاهش می‌یابد. دورهٔ تناوب ثابت می‌ماند $2\pi$ است.

کاربرد عملی در رسم نمودار توابع درجه دوم و مثلثاتی

در مسائل فیزیک و مهندسی، هنگامی که می‌خواهیم تأثیر یک ضریب کاهنده مانند مقاومت هوا یا اصطکاک را بر نوسانات مدل کنیم، از انقباض عمودی استفاده می‌شود. برای نمونه، نوسان میرا در فنرها با تابع $y = e^{-0.2 t} \cos(t)$ مدل می‌شود که در آن ضریب نمایی به‌مرور دامنهٔ نوسان را کاهش می‌دهد (شبیه انقباض عمودی پویا).

در اقتصاد، تابع سود یک شرکت ممکن است به صورت $P(x) = -2x^2 + 20x - 30$ باشد. اگر به دلیل مالیات جدید، تمام سودها $0.8$ برابر شوند، تابع سود جدید به $P_{\text{new}}(x) = 0.8(-2x^2 + 20x - 30)$ تبدیل می‌شود که انقباض عمودی را نشان می‌دهد. قلهٔ سود کاهش می‌یابد ولی مکان آن (عرض از مبدأ) تغییری نمی‌کند.

چالش‌های مفهومی: پرسش و پاسخ

جمع‌بندی

پاورقی

¹ انقباض عمودی (Vertical Compression): تبدیلی که در آن خروجی تابع در عددی بین صفر و یک ضرب می‌شود و نمودار را به محور x نزدیک می‌کند.

² دامنه (Amplitude): در توابع تناوبی مانند سینوس و کسینوس، نصف فاصلهٔ میان بیشینه و کمینه است که در اثر انقباض عمودی کاهش می‌یابد.

³ کشیدگی عمودی (Vertical Stretch): حالتی که ضریب بزرگتر از یک باشد و نمودار را از محور x دور کند.