بردارهای یکه i، j و k: قواعد ضرب خارجی و روابط چرخهای
تعریف و ویژگیهای بردارهای واحد i، j و k
در دستگاه مختصات دکارتی سهبعدی، سه بردار یکه عمود بر هم به نامهای $i$ (در جهت محور $x$)، $j$ (در جهت محور $y$) و $k$ (در جهت محور $z$) تعریف میشوند. ویژگی اصلی این بردارها این است که اندازه (بزرگی) هرکدام برابر با $1$ است و جهت آنها عمود بر یکدیگر میباشد. در ریاضیات، ضرب خارجی دو بردار، بردار سومی را میدهد که عمود بر هر دو بردار اولیه است. برای بردارهای یکه، مجموعه روابط زیر به عنوان قواعد چرخهای شناخته میشوند:
و در حالت عکس (تغییر ترتیب ضرب) یک علامت منفی ظاهر میشود:
این روابط نشان میدهد که ضرب خارجی خاصیت جابجایی ندارد. برای درک بهتر، میتوانید سه انگشت اشاره، وسط و شست دست راست خود را به ترتیب در جهت $i$، $j$ و $k$ قرار دهید. اگر از $i$ به $j$ بپیچید، شست جهت $k$ را نشان میدهد.
ضرب خارجی و قانون دست راست: کلید فهم روابط چرخهای
برای به خاطر سپردن آسان روابط $i \times j = k$ و تغییر علامت در ترتیب معکوس، از قانون دست راست استفاده میشود. اگر بردار اول (چرخش از آن شروع میشود) را انگشت اشاره، بردار دوم را انگشت وسط و جهتی که شست نشان میدهد را حاصل ضرب فرض کنیم، به راحتی میتوان ترتیب درست را حفظ کرد. به صورت چرخهای، اگر در جهت $i \to j \to k$ حرکت کنیم، ضرب هر دو متوالی برابر با بعدی است. اما اگر خلاف جهت چرخه پیش برویم، علامت منفی ظاهر میشود.
| ترتیب ضرب | نتیجه | نوع ترتیب |
|---|---|---|
| $i \times j$ | $k$ | راستگرد (چرخه مستقیم) |
| $j \times i$ | $-k$ | چپگرد (معکوس) |
| $j \times k$ | $i$ | راستگرد |
| $k \times j$ | $-i$ | معکوس |
| $k \times i$ | $j$ | راستگرد |
| $i \times k$ | $-j$ | معکوس |
یک مثال ساده: فرض کنید میخواهیم $i \times (j \times k)$ را محاسبه کنیم. ابتدا $j \times k = i$. سپس $i \times i = 0$ (چون ضرب خارجی هر بردار با خودش صفر است). بنابراین حاصل نهایی صفر میشود.
کاربرد عملی در فیزیک دبیرستان: نیروی مغناطیسی وارد بر سیم حامل جریان
یکی از مهمترین کاربردهای روابط $i \times j = k$ در فیزیک، محاسبه نیروی وارد بر سیم حامل جریان در میدان مغناطیسی است. فرمول نیروی لورنتس2 به صورت $\vec{F} = I \, \vec{L} \times \vec{B}$ نوشته میشود که در آن $I$ جریان، $\vec{L}$ بردار طول سیم در جهت جریان و $\vec{B}$ میدان مغناطیسی است. فرض کنید جریان در جهت $+x$ (یعنی بردار $i$) و میدان مغناطیسی در جهت $+y$ (بردار $j$) باشد. با توجه به رابطه $i \times j = k$، نیرو در جهت $+z$ (بردار $k$) خواهد بود. اگر جهت جریان یا میدان عوض شود، با استفاده از علامت منفی در روابط معکوس، جهت نیرو نیز معکوس میشود.
مثال عددی: یک سیم به طول $0/5$ متر در راستای $x$، حامل جریان $2$ آمپر. میدان مغناطیسی یکنواخت $B = 0/3$ تسلا در جهت $+y$ است. اندازه نیرو برابر $F = I L B = 2 \times 0/5 \times 0/3 = 0/3$ نیوتن و جهت آن طبق رابطه $i \times j = k$ در جهت $+z$ خواهد بود. این همان استفاده مستقیم از قانون چرخهای در یک مسئله واقعی است.
چالشهای مفهومی در روابط چرخهای i,j,k
۱) چرا $i \times j$ برابر $k$ است نه $-k$؟
این یک قرارداد برای دستگاه مختصات راستگرد است. اگر از دستگاه چپگرد استفاده کنیم، روابط با علامت منفی عوض میشوند. در فیزیک و ریاضیات استاندارد، دستگاه راستگرد رایج است تا قانون دست راست برقرار باشد.
۲) آیا میتوان حاصلضرب $i \times (j \times k)$ را با روابط چرخهای محاسبه کرد؟
بله. ابتدا $j \times k = i$. سپس $i \times i = 0$. توجه کنید که ضرب خارجی شرکتپذیر نیست، بنابراین ترتیب پرانتزها مهم است. اگر پرانتز به شکل $(i \times j) \times k$ بود، ابتدا $i \times j = k$ و سپس $k \times k = 0$ که همان جواب صفر را میدهد، اما در حالت کلی لزوماً یکسان نیست.
۳) اگر $\vec{A} = 2i + 3j$ و $\vec{B} = i - j$ باشد، چگونه از روابط چرخهای برای محاسبه $\vec{A} \times \vec{B}$ استفاده میکنیم؟
از خاصیت پخشی ضرب خارجی استفاده کنید: $(2i+3j) \times (i - j) = 2i \times i - 2i \times j + 3j \times i - 3j \times j$. میدانیم $i \times i = 0$، $j \times j = 0$، $i \times j = k$ و $j \times i = -k$. پس عبارت برابر $0 - 2k + 3(-k) - 0 = -5k$ خواهد شد.
جمعبندی
پاورقی
1 ضرب خارجی (Cross Product): عمل دوتایی روی دو بردار در فضای سهبعدی که حاصل آن بردار عمود بر هر دو بردار اولیه است و اندازه آن برابر حاصلضرب اندازه بردارها در سینوس زاویه بین آنها میباشد.
2 نیروی لورنتس (Lorentz Force): نیروی وارد بر ذره باردار متحرک در میدان الکتریکی و مغناطیسی که در حالت مغناطیسی به صورت $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$ و برای سیم حامل جریان به صورت $\vec{F}=I\vec{L}\times\vec{B}$ نوشته میشود.
