نمایش بردار با بردارهای یکه: نوشتن هر بردار به صورت ترکیب خطی از i و j در صفحه و i و j و k در فضا
بردارهای یکه یا بردارهای پایه در دستگاه مختصات دکارتی
بردارهای یکه، بردارهایی با اندازه $ 1 $ واحد هستند که راستای هر محور مختصات را نشان میدهند. در صفحه (دو بعدی) از دو بردار یکه $ \mathbf{i} $ و $ \mathbf{j} $ استفاده میشود. بردار $ \mathbf{i} $ در راستای محور $ x $ و بردار $ \mathbf{j} $ در راستای محور $ y $ قرار دارد. در فضای سه بعدی، بردار سوم $ \mathbf{k} $ نیز در راستای محور $ z $ تعریف میشود. این سه بردار، یک دستگاه راستگرد1 متعامد یکه2 تشکیل میدهند.
ویژگی مهم این بردارها این است که هر بردار دلخواه در صفحه یا فضا را میتوان به صورت ترکیب خطی منحصربهفردی از آنها نوشت. ضرایب این ترکیب خطی، همان مؤلفههای اسکالر3 بردار در راستای هر محور هستند. برای مثال، بردار $ \mathbf{a} $ که از نقطهٔ مبدأ به نقطهٔ $ (a_1, a_2) $ میرود، به صورت $ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} $ نمایش داده میشود. در اینجا $ a_1 $ و $ a_2 $ اعداد حقیقی هستند.
نوشتن بردار در صفحه (دو بعد) با i و j
در سیستم مختصات دکارتی دو بعدی، هر نقطه با دو عدد $ (x, y) $ مشخص میشود. بردار موقعیت4 آن نقطه نسبت به مبدأ، با استفاده از بردارهای یکه به شکل زیر نوشته میشود:
$ \mathbf{r} = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} $در این عبارت، $ x $ و $ y $ مؤلفههای اسکالر بردار هستند. برای نمونه، اگر نقطهٔ $ A $ با مختصات $ (3, 4) $ داده شود، بردار $ \overrightarrow{OA} $ برابر است با $ 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $. اندازهٔ این بردار از رابطهٔ $ |\mathbf{r}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $ به دست میآید.
حال فرض کنید دو بردار $ \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} $ و $ \mathbf{b} = -\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ داریم. جمع این دو بردار به صورت زیر انجام میشود:
$ \mathbf{a} + \mathbf{b} = (2-1)\mathbf{i} + (-3+5)\mathbf{j} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} $این روش جمع، ساده و مستقیم است، زیرا مؤلفههای مربوط به هر بردار یکه به طور جداگانه با هم جمع میشوند.
در فیزیک، اگر جسمی تحت تأثیر دو نیروی $ \mathbf{F}_1 = 5\mathbf{i} + 2\mathbf{j} $ نیوتن و $ \mathbf{F}_2 = -3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} $ نیوتن قرار گیرد، برآیند نیروها برابر است با $ \mathbf{F}_{net} = 2\mathbf{i} + 6\mathbf{j} $ نیوتن. این روش محاسبه، بسیار سریعتر از روش هندسی است.
گسترش به فضا: استفاده از i، j و k در سه بعد
در فضای سه بعدی، یک بردار یکهٔ سوم به نام $ \mathbf{k} $ در راستای محور $ z $ اضافه میشود. بنابراین هر بردار دلخواه $ \mathbf{a} $ در فضا به شکل زیر نوشته میشود:
$ \mathbf{a} = a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $که در آن $ a_1, a_2, a_3 $ مؤلفههای اسکالر در راستای محورهای $ x, y, z $ هستند. برای نمونه، بردار موقعیت نقطهٔ $ P(2, -1, 3) $ برابر است با $ \overrightarrow{OP} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k} $. اندازهٔ این بردار به صورت زیر محاسبه میشود:
$ |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} $در مسائل هندسه تحلیلی و فیزیک سه بعدی، نمایش بردارها با $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $ امکان انجام عملیاتی مانند ضرب داخلی5 و ضرب خارجی6 را به سادگی فراهم میکند.
| بعد | بردارهای یکه | نمایش عمومی | مثال |
|---|---|---|---|
| دو بعد (صفحه) | $ \mathbf{i}, \mathbf{j} $ | $ a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} $ | $ 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} $ |
| سه بعد (فضا) | $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $ | $ a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ | $ 2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - \mathbf{k} $ |
کاربرد عملی در مسائل فیزیک و مهندسی
روش نمایش بردار با بردارهای یکه در بسیاری از شاخههای علوم کاربرد دارد. برای نمونه، در حرکت پرتابی، بردار مکان ذره در هر لحظه به صورت $ \mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} $ نوشته میشود. همچنین در مدارهای الکتریکی، جریانها و ولتاژها گاهی به صورت بردارهای فازور نمایش داده میشوند. در گرافیک کامپیوتری نیز برای جابهجایی و چرخش اشیاء سه بعدی از این روش استفاده گسترده میشود.
یک مثال عددی مشخص: فرض کنید بردار جابهجایی یک خودرو ابتدا $ \mathbf{d}_1 = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{j} $ کیلومتر و سپس $ \mathbf{d}_2 = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} $ کیلومتر باشد. جابهجایی کل برابر است با:
$ \mathbf{d}_{total} = (4-2)\mathbf{i} + (3+5)\mathbf{j} = 2\mathbf{i} + 8\mathbf{j} $بنابراین خودرو در نهایت $ 2 $ کیلومتر به شرق و $ 8 $ کیلومتر به شمال جابهجا شده است. اندازهٔ جابهجایی کل برابر $ \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{68} \approx 8.25 $ کیلومتر است.
چالشهای مفهومی
۱) چرا نمیتوان هر بردار را فقط با یک بردار یکه نمایش داد؟
زیرا یک بردار یکه فقط یک راستا را پوشش میدهد. برای نمایش بردار دلخواه در صفحه، به دو راستای مستقل (دو بردار یکه) نیاز داریم تا ترکیب خطی آنها بتواند هر جهتی را بسازد. در فضا نیز سه بردار یکه لازم است.
۲) آیا بردارهای یکه همیشه باید عمود بر هم باشند؟
در دستگاه مختصات دکارتی استاندارد، بله، $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $ متعامد هستند. اما در برخی دستگاههای مختصات دیگر (مانند مختصات مایل)، میتوان بردارهای یکه غیر متعامد تعریف کرد، اما آنها دیگر متعامد یکه نیستند و کاربرد کمتری در مسائل مقدماتی دارند.
۳) تفاوت بردار یکه با بردار مؤلفه چیست؟
بردار یکه اندازهٔ $ 1 $ دارد و فقط راستا را نشان میدهد. اما بردار مؤلفه، ضرب یک عدد اسکالر (مؤلفه) در بردار یکه است. برای نمونه، $ 5\mathbf{i} $ یک بردار مؤلفه است، در حالی که $ \mathbf{i} $ خود بردار یکه است.
جمعبندی
نمایش بردارها به صورت ترکیب خطی بردارهای یکه $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $ روشی استاندارد و کارآمد در ریاضیات و فیزیک است. این روش محاسبات جمع، تفریق، اندازه و ضرب بردارها را ساده میکند. در صفحه از دو بردار یکه و در فضا از سه بردار یکه استفاده میشود. هر بردار به طور یکتا به صورت $ a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} $ (در دو بعد) یا $ a_1\mathbf{i} + a_2\mathbf{j} + a_3\mathbf{k} $ (در سه بعد) نوشته میشود. تسلط بر این روش برای درک مباحث پیشرفتهتر مانند بردارها در میدانهای الکترومغناطیس و مکانیک تحلیلی ضروری است.
پاورقی
1 دستگاه راستگرد (Right-handed coordinate system): سیستمی از محورهای مختصات که در آن جهت محورها از قاعدهٔ سهبند انگشتان دست راست پیروی میکند.
2 متعامد یکه (Orthonormal): مجموعهای از بردارها که هم عمود بر یکدیگرند و هم اندازهٔ هر یک برابر $ 1 $ است.
3 مؤلفههای اسکالر (Scalar components): اعداد حقیقی که ضریب هر بردار یکه در نمایش یک بردار هستند.
4 بردار موقعیت (Position vector): برداری که از مبدأ مختصات به یک نقطه رسم میشود و مختصات آن نقطه را نشان میدهد.
5 ضرب داخلی (Dot product): عمل ضرب دو بردار که نتیجهاش یک عدد اسکالر است.
6 ضرب خارجی (Cross product): عمل ضرب دو بردار در فضای سه بعدی که نتیجهاش یک بردار عمود بر هر دو بردار اولیه است.
