صفحه XZ: دیوار عمودی در فضای سهبعدی
مفهوم صفحه xz در دستگاه مختصات دکارتی
در فضای سهبعدی، دستگاه مختصات دکارتی1 از سه محور عمود بر هم تشکیل شده است: محور x (افقی به سمت راست و چپ)، محور y (افقی به سمت جلو و عقب) و محور z (عمودی به سمت بالا و پایین). صفحهٔ xz مانند یک دیوار عمودی است که توسط دو محور x و z ساخته شده و محور y در تمام نقاط آن برابر با صفر است.
برای درک بهتر، یک اتاق را تصور کنید: کف اتاق صفحهٔ xy، یک دیوار جانبی صفحهٔ yz و دیوار روبروی شما صفحهٔ xz است. در این تشبیه کتاب، صفحهٔ xz همان «دیوار دیگر» (غیر از کف و دیوار پشتی) محسوب میشود.
معادلهٔ صفحه xz و مختصات نقاط روی آن
هر نقطهٔ دلخواه روی صفحهٔ xz را میتوان به صورت $(a , 0 , c)$ نشان داد، که در آن a و c اعداد حقیقی هستند. برای مثال نقاط زیر همگی روی صفحهٔ xz قرار دارند:
- (3 , 0 , 2)
- (-1 , 0 , 5)
- (0 , 0 , -4)
- (2.5 , 0 , 0)
نقطهٔ (3 , 2 , 1) روی این صفحه نیست زیرا مختصهٔ y آن برابر 2 و غیر صفر است. برای قرار گرفتن نقطه روی صفحهٔ xz شرط $y = 0$ الزامی است.
مثال عملی: فرض کنید یک پرنده در فضای اتاق در نقطهٔ (2 , 3 , 4) پرواز میکند. سایهٔ این پرنده روی دیوار xz (دیوار روبرو) در نقطهٔ (2 , 0 , 4) قرار میگیرد. به این عمل «پرتاب کردن نقطه روی صفحهٔ xz» گفته میشود.
مقایسه سه صفحهٔ اصلی مختصاتی
| نام صفحه | معادله | محورهای سازنده | مختصات نقطهٔ نمونه |
|---|---|---|---|
| صفحه xy (کف) | $z = 0$ | x و y | (5 , -2 , 0) |
| صفحه yz (دیوار جانبی) | $x = 0$ | y و z | (0 , 4 , 3) |
| صفحه xz (دیوار روبرو) | $y = 0$ | x و z | (-3 , 0 , 7) |
کاربرد عملی: ترسیم خط و دایره روی صفحه xz
روی صفحهٔ xz میتوانیم اشکال دو بعدی معمولی را رسم کنیم، زیرا این صفحه در حقیقت یک صفحهٔ دو بعدی است. تنها تفاوت این است که به جای جفتمرتب (x , y) از جفتمرتب (x , z) استفاده میکنیم.
معادلهٔ خط روی صفحه xz: یک خط راسته روی این صفحه به فرم $z = m x + b$ نوشته میشود که در آن m شیب خط و b عرض از مبدأ است. برای مثال خط $z = 2x + 1$ روی صفحهٔ xz رسم میشود.
معادلهٔ دایره روی صفحه xz: دایرهای به مرکز (h , 0 , k) و شعاع r روی این صفحه با رابطهٔ $(x - h)^2 + (z - k)^2 = r^2$ توصیف میشود.
مثال عینی: فرض کنید یک لامپ روی دیوار xz در نقطهٔ (2 , 0 , 3) نصب شده است. ناحیهٔ روشنایی آن به شکل دایرهای به شعاع 1.5 متر است. معادلهٔ مرز ناحیهٔ روشنایی روی دیوار به صورت $(x - 2)^2 + (z - 3)^2 = (1.5)^2$ خواهد بود.
فاصلهٔ یک نقطه از صفحه xz
فاصلهٔ هر نقطه در فضا از صفحهٔ xz برابر با قدر مطلق مختصهٔ y آن نقطه است. زیرا صفحهٔ xz در مکان y = 0 قرار دارد و کوتاهترین فاصله از نقطه تا این صفحه، اندازهٔ تغییرات در راستای عمود بر صفحه (یعنی راستای محور y) میباشد.
برای مثال، فاصلهٔ نقطهٔ (4 , -5 , 2) از صفحهٔ xz برابر است با $d = |-5| = 5$ واحد. این یعنی نقطه در فاصلهٔ 5 واحدی از دیوار xz قرار دارد.
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. ترتیب نامگذاری محورها در نام صفحه تأثیری در خود صفحه ندارد. صفحهٔ xz دقیقاً همان صفحهٔ zx است، زیرا هر دو شامل مجموعه نقاطی با شرط $y = 0$ هستند.
پاسخ: از آنجا که مختصهٔ y صفر است، فرمول فاصله از مبدأ به شکل $d = \sqrt{x^2 + z^2}$ ساده میشود. این درست مانند فرمول فاصله در صفحهٔ دو بعدی است.
پاسخ: بله. در محاسبهٔ حجم اجسام سهبعدی با روش انتگرال، گاهی مقاطع موازی با صفحهٔ xz را در نظر میگیریم. در این حالت، مختصهٔ y ثابت فرض میشود و مساحت مقطع بر حسب y نوشته میشود.
تفاوت صفحه xz با صفحات موازی آن
صفحات موازی با صفحهٔ xz به صورت $y = c$ (که c یک عدد ثابت غیرصفر است) تعریف میشوند. این صفحات نیز عمودی هستند اما در فاصلهٔ مشخصی از صفحهٔ اصلی xz قرار دارند. برای نمونه صفحهٔ $y = 3$ یک صفحهٔ عمودی موازی با دیوار xz است که از نقطهٔ (0 , 3 , 0) عبور میکند.
تمامی قوانین مربوط به معادلات خط و دایره روی صفحهٔ xz برای صفحات موازی آن نیز صادق است، زیرا این صفحات با یک انتقال ساده در راستای محور y به دست میآیند و ساختار دوبعدی آنها تغییری نمیکند.
پاورقی
1 دستگاه مختصات دکارتی (Cartesian coordinate system): روشی برای تعیین موقعیت نقاط در فضا با استفاده از سه محور عمود بر هم که به افتخار رنه دکارت نامگذاری شده است.
