مستقیمالراهنمای سهمی: خط ثابت d در تعریف سهمی که فاصلهٔ هر نقطهٔ سهمی تا آن با فاصلهٔ همان نقطه تا کانون برابر است
۱. تعریف سهمی با استفاده از کانون و مستقیمالراهنما
در هندسهٔ تحلیلی، سهمی1 به عنوان مکان هندسی نقاطی مانند $P(x,y)$ تعریف میشود که فاصلهٔ آنها تا یک نقطهٔ ثابت به نام کانون2 (F) برابر با فاصلهٔ آنها تا یک خط ثابت به نام مستقیمالراهنما3 (یا خط هادی) (d) باشد. به عبارت دیگر، اگر نقطهٔ $P$ روی سهمی قرار داشته باشد، آنگاه:
خط ثابت d همان مستقیمالراهنما است. این خط هیچگاه از کانون عبور نمیکند و همواره خارج از سهمی قرار دارد. فاصلهٔ کانون تا مستقیمالراهنما را فاصلهٔ کانونی4 مینامند و آن را با $2p$ نشان میدهند (در برخی منابع $4a$ نیز رایج است).
۲. استخراج معادلهٔ استاندارد سهمی به کمک مستقیمالراهنما
برای بهدستآوردن معادلهٔ سهمی، فرض میکنیم کانون در نقطهٔ $F(0,p)$ و مستقیمالراهنما خط افقی $y=-p$ باشد (سهمی قائم با رأس در مبدأ). آنگاه برای نقطهٔ دلخواه $P(x,y)$ روی سهمی داریم:
با مجذور کردن دو طرف و سادهسازی:
$ x^{2}+(y-p)^{2} = (y+p)^{2} $
$ x^{2}+y^{2}-2py+p^{2} = y^{2}+2py+p^{2} $
$ x^{2} = 4py $
بنابراین معادلهٔ استاندارد سهمی با رأس در مبدأ، کانون در $(0,p)$ و مستقیمالراهنما $y=-p$ به فرم $x^{2}=4py$ است. اگر $p \gt 0$ سهمی به سمت بالا باز میشود و اگر $p \lt 0$ به سمت پایین باز میشود.
۳. انواع سهمی بر اساس موقعیت مستقیمالراهنما و کانون
بسته به اینکه محور تقارن سهمی افقی یا قائم باشد و جهت بازشدگی آن، معادلات متفاوتی حاصل میشود. در جدول زیر، چهار حالت اصلی همراه با کانون و مستقیمالراهنما ارائه شده است:
| جهت بازشدگی | معادلهٔ استاندارد | کانون | مستقیمالراهنما |
|---|---|---|---|
| بالا (قائم) | $x^{2}=4py$ | $(0,p)$ | $y=-p$ |
| پایین (قائم) | $x^{2}=-4py$ | $(0,-p)$ | $y=p$ |
| راست (افقی) | $y^{2}=4px$ | $(p,0)$ | $x=-p$ |
| چپ (افقی) | $y^{2}=-4px$ | $(-p,0)$ | $x=p$ |
۴. کاربرد عملی: تعیین معادلهٔ سهمی از روی مستقیمالراهنما و کانون
فرض کنید مستقیمالراهنمای یک سهمی، خط $x=3$ و کانون آن نقطهٔ $F(-3,0)$ باشد. با توجه به اینکه مستقیمالراهنما یک خط عمودی است و کانون در سمت چپ آن قرار دارد، سهمی به سمت چپ باز میشود. فاصلهٔ کانون تا مستقیمالراهنما برابر $|3-(-3)|=6$ است. در حالت افقی به سمت چپ، داریم $y^{2}=-4px$ و $2p=6$ یا $p=3$. بنابراین معادله به صورت $y^{2}=-12x$ خواهد بود. رأس سهمی در نقطهٔ میانی بین کانون و مستقیمالراهنما یعنی $(0,0)$ قرار دارد.
۵. چالشهای مفهومی
خیر، مستقیمالراهنما هرگز سهمی را قطع نمیکند. دلیل آن این است که برای هر نقطه روی سهمی، فاصله تا کانون برابر با فاصله تا مستقیمالراهنما است. اگر نقطهای روی مستقیمالراهنما قرار گیرد، فاصلهٔ آن تا مستقیمالراهنما صفر میشود که مستلزم صفر بودن فاصله تا کانون است؛ یعنی نقطه باید با کانون منطبق باشد. اما کانون روی مستقیمالراهنما قرار ندارد (طبق تعریف). بنابراین هیچ نقطهٔ مشترکی بین سهمی و مستقیمالراهنما وجود ندارد.
اگر کانون بالای مستقیمالراهنما قرار گیرد (یعنی خط هادی افقی و کانون در بالای آن)، سهمی به سمت بالا باز میشود. برای مثال، با کانون $(0,2)$ و مستقیمالراهنما $y=-2$، معادله $x^{2}=8y$ به دست میآید که یک سهمی رو به بالاست. برعکس، اگر کانون زیر مستقیمالراهنما باشد، سهمی رو به پایین باز میشود.
بله. اگر کانون و مستقیمالراهنما مشخص باشند، مکان هندسی نقاطی که فاصلهٔ آنها تا کانون و تا خط هادی برابر است، بهطور یکتا تعیین میشود. فقط کافی است معادلهٔ فاصلهها را بنویسیم و ساده کنیم. حتی اگر مستقیمالراهنما خطی با معادلهٔ کلی $ax+by+c=0$ باشد و کانون $(x_0,y_0)$، با استفاده از فرمول فاصلهٔ نقطه از خط و فاصلهٔ اقلیدسی، به یک معادلهٔ درجه دوم میرسیم که همان سهمی مورد نظر است.
۶. جمعبندی
پاورقی
1 سهمی (Parabola): مکان هندسی نقاطی در صفحه که فاصلهٔ هر نقطه تا یک نقطهٔ ثابت (کانون) و تا یک خط ثابت (مستقیمالراهنما) با هم برابر است.
2 کانون (Focus): نقطهٔ ثابتی در تعریف سهمی که همهٔ نقاط سهمی به همان اندازه از آن فاصله دارند که از مستقیمالراهنما.
3 مستقیمالراهنما یا خط هادی (Directrix): خط ثابتی در تعریف سهمی که فاصلهٔ عمودی (یا کوتاهترین فاصله) هر نقطهٔ سهمی تا آن، با فاصلهٔ همان نقطه تا کانون برابر است.
4 فاصلهٔ کانونی (Focal distance): فاصلهٔ عمودی یا افقی بین کانون و مستقیمالراهنما که معمولاً با $2p$ یا $4a$ نشان داده میشود.
