رسم سهمی: تعیین چند نقطه از سهمی (از جمله رأس) و ترسیم منحنی از روی آن‌ها در دستگاه مختصات

رسم سهمی: گام‌به‌گام از رأس تا منحنی

۱. ساختار عمومی سهمی و ضرایب آن

معادله یک سهمی به‌صورت کلی به شکل $y = ax^2 + bx + c$ نوشته می‌شود که در آن $a$، $b$ و $c$ اعداد حقیقی ثابت و $a \neq 0$ هستند. شکل و موقعیت سهمی در صفحه توسط این سه ضریب تعیین می‌شود. برای رسم دقیق یک سهمی، نیاز داریم حداقل ۵ نقطه از آن را بدانیم که یکی از مهم‌ترین‌ها، نقطۀ رأس است.

• ضریب$a$: تعیین‌کننده جهت باز شدن دهانۀ سهمی و میزان باز بودن آن است. اگر $a \gt 0$، سهمی رو به بالا باز می‌شود و اگر $a \lt 0$، دهانه سهمی رو به پایین است. هرچه قدر مطلق $a$ بزرگ‌تر باشد، سهمی کشیده‌تر و هرچه کوچک‌تر باشد، سهمی بازتر و پهن‌تر خواهد بود.
• ضریب$b$: در تعیین موقعیت افقی رأس و محور تقارن نقش دارد.
• ضریب$c$: فاصلۀ برخورد سهمی با محور $y$ (عرض از مبدأ) را نشان می‌دهد؛ یعنی نقطۀ $(0,c)$ قطعاً روی سهمی قرار دارد.

۲. محاسبه مختصات رأس سهمی

رأس سهمی مهم‌ترین نقطه آن است. اگر سهمی رو به بالا باشد، رأس کمترین مقدار $y$ (مینیمم) و اگر رو به پایین باشد، رأس بیشترین مقدار $y$ (ماکزیمم) را نشان می‌دهد. مختصات رأس به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

۳. تعیین نقاط تقاطع با محورها

تقاطع با محور$y$: این نقطه ساده‌ترین نقطه است و با قرار دادن $x=0$ در معادله به‌دست می‌آید: $y = c$. بنابراین نقطۀ $(0,c)$ یک نقطۀ قطعی روی سهمی است. تقاطع با محور$x$ (ریشه‌ها): برای یافتن نقاط برخورد سهمی با محور $x$، معادلۀ $ax^2+bx+c=0$ را حل می‌کنیم. روش حل با استفاده از فرمول دلتا (قانون تبعیض‌آمیز^[1]) است:

۴. گام‌های عملی برای رسم یک سهمی با مثال عددی

برای روشن شدن موضوع، سهمی با معادلۀ $y = x^2 - 4x + 3$ را در نظر می‌گیریم و مراحل رسم را گام‌به‌گام اجرا می‌کنیم.

1. تشخیص ضریب$a$: در اینجا $a = 1$ ($a \gt 0$) پس سهمی رو به بالا است.
2. محاسبۀ رأس:
   • $x_v = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2$
   • $y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
   • رأس: $(2, -1)$
3. تقاطع با محور$y$: با قرار دادن $x=0$، $y=3$؛ نقطۀ $(0,3)$.
4. تقاطع با محور$x$ (ریشه‌ها): معادلۀ $x^2 -4x + 3=0$ را حل می‌کنیم.
   • $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$
   • $x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3$، $x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$
   • ریشه‌ها: $(1,0)$ و $(3,0)$.
5. یافتن نقاط کمکی: برای رسم دقیق‌تر، دو نقطه دیگر در طرفین رأس انتخاب می‌کنیم. مثلاً $x=4$ و $x=-1$:
   • $x=4 \Rightarrow y=16-16+3=3$؛ نقطۀ $(4,3)$.
   • $x=-1 \Rightarrow y=1+4+3=8$؛ نقطۀ $(-1,8)$.
6. ترسیم نقاط و رسم منحنی: حالا نقاط $(0,3)$، $(1,0)$، $(2,-1)$، $(3,0)$، $(4,3)$ و $(-1,8)$ را در دستگاه مختصات علامت زده و با یک منحنی صاف و پیوسته که از رأس عبور می‌کند، آن‌ها را به هم وصل می‌کنیم.

۵. کاربرد عملی: پیش‌بینی مسیر یک پرتابه

فرض کنید توپی را با سرعت اولیه به سمت بالا پرتاب می‌کنیم. معادلۀ مسیر حرکت آن (با صرف‌نظر از مقاومت هوا) یک سهمی است. اگر معادلۀ ارتفاع توپ بر حسب زمان به صورت $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ داده شده باشد (ارتفاع بر حسب متر، زمان بر حسب ثانیه)، با استفاده از روش‌های این مقاله می‌توانیم نقاط کلیدی مسیر را پیدا کنیم:

• رأس (بیشترین ارتفاع): $t_v = \frac{-20}{2 \times (-5)} = 2$ ثانیه، $h_v = -5(4)+40+2=22$ متر.
• زمان برخورد به زمین ($h=0$): با حل معادلۀ درجه دوم، ریشۀ مثبت آن زمان برخورد را نشان می‌دهد.
• ارتفاع اولیه ($t=0$): $h=2$ متر.

این اطلاعات به ما دید کاملی از نحوۀ حرکت توپ می‌دهد و کاربرد عملی مفاهیم سهمی را در زندگی روزمره نشان می‌دهد.

۶. چالش‌های مفهومی

۷. مقایسه تأثیر ضرایب بر شکل سهمی

پاورقی‌ها