درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی کلاس نهم
درس 1: معرفی مجموعه
فعالیت (صفحه 2 کتاب درسی)
در شکل زیر شمارندههای طبیعی عدد ٦٠ را نوشتهایم و بین آنها شمارندههای اوّل را مشخص کردهایم. شما هم شمارندههای ٦٠ را که اوّل نیستند در یک منحنی بسته قرار دهید.
اگر شمارندههای طبیعی و اولِ عدد 60 یعنی 2، 3 و 5 را داخل دو آکلاد قرار دهیم و آن را با حروفی چون A یا B یا ... نامگذاری کنیم و بنویسیم $A=\{2,3,5\}$؛ در این صورت یک مجموعه تشکیل دادهایم و به هر یک از عددهای 2، 3 و 5 یک عضو مجموعه A میگوییم؛ پس مجموعۀ A دارای 3 عضو است.
* شما شمارندههای مرکب عدد ٦٠ را به صورت یک مجموعه بنویسید و آن را B بنامید.
$B=\left\{ 4,6,10,12,15,20,30,60 \right\}$
* مجموعۀ شامل شمارندههای عدد ٦٠ که نه اوّل باشد و نه مرکب، چند عضو دارد؟ این مجموعه را نیز C بنامید و آن را نمایش دهید.
$C=\left\{ 1 \right\}$
* مجموعۀ D شامل همۀ شمارندههای دو رقمی 60 را تشکیل دهید؛ این مجموعه چند عضو دارد؟ 6 عضو دارد.
$D=\left\{ 10,12,15,20,30,60 \right\}$
از رضا و احمد خواسته شد تا مجموعۀ شامل 3 شمارندۀ زوج عدد 60 را تشکیل دهند. احمد نوشت: $\left\{ 4,6,10 \right\}$ و رضا نوشت: $\left\{ 6,10,12 \right\}$ به نظر شما چرا جوابهای آنها با هم فرق دارد؟ چون همه عضوها مثل هم نیست.
نتیجه: عبارتهایی شبیه این عبارت، که مشخص کنندۀ یک مجموعۀ معین و یکتا نباشد، مجموعهای را مشخص نمیکند.
معرفی مجموعه
ما، در زندگی روزمره در صحبتها و نوشتههایمان از واژههایی مانند دسته، گروه و مجموعه استفاده میکنیم؛ برای مثال وقتی میگوییم «گروهی از ورزشکاران وارد ورزشگاه شدند»، نام ورزشکاران را مشخص نکردهایم، درحالی که ما از مجموعه در ریاضی برای بیان و نمایش دستهای از اشیای مشخص (عضویت این اشیا در مجموعه کاملاً معین باشد) و متمایز (غیرتکراری) استفاده میکنیم.
فعالیت (صفحه 3 کتاب درسی)
1- کدام یک از عبارتهای زیر مشخص کننده یک مجموعه است؟ مجموعۀ مورد نظر را نمایش دهید.
الف) عددهای طبیعی و یک رقمی ب) چهار شاعر ایرانی ج) دو عدد اوّلِ کوچک تر از 12
عبارت الف - $A=\left\{ 1,2,3,...,9 \right\}$
2- با توجه به شرط متمایز بودن عضوهای یک مجموعه، جاهای خالی را پرکنید:
الف) به جای $A=\left\{ 1,2,1,4,5 \right\}$ باید بنویسیم: $A=\left\{ 1,2,4,5 \right\}$
ب) به دلیل تکراری بودنِ عدد 5 در $B=\left\{ 5,6,5,7 \right\}$ آن را به صورت $B=\left\{ 5,6,7 \right\}$ مینویسیم.
نمایش مجموعهها با استفاده از نمودار وِن
مجموعه را میتوان با استفاده از منحنیها یا خطهای شکستۀ بسته نمایش داد؛ به عنوان مثال، نمایش مجموعۀ $A=\{1,2,3,4\}$ با استفاده از نمودار وِن به صورت مقابل است.
فعالیت (صفحه 3 کتاب درسی)
1- با توجه به نمودار وِن، که برای دو مجموعۀ A و B رسم شده است، مجموعه های A و B را با عضوهایشان مشخص کنید.
$B=\left\{ s,f,k,m,n \right\}$ $A=\left\{ a,b,c,s,f,k \right\}$
2- دو مجموعۀ $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ و $B=\left\{ 5,6,7,8 \right\}$ را در نظر بگیرید:
دو مجموعه را با یک نمودار وِن نمایش دهید. کدام عددها هم در منحنی بستۀ مربوط به A و هم در منحنی بسته B وجود دارد؟ $\left\{ 5,6 \right\}$
3- مجموعۀ عددهای دو رقمی و زوجِ اوّل را بنویسید و آن را E بنامید. این مجموعه چند عضو دارد؟ این مجموعه عضوی ندارد. $E=\left\{ {} \right\}$
4- کدام یک از عبارتهای زیر، مجموعۀ تهی را مشخص میکند؟ عبارت الف
الف) عددهای طبیعی بین ٥ و ٦ $A=\left\{ {} \right\}$
ب) عددهای صحیح بین ١- و ١ $B=\left\{ 0 \right\}$
ج) عددهای اوّل و زوج $C=\left\{ 2 \right\}$
د) عددهای طبیعی یک رقمی و مضرب ٣ که اوّل باشد. $D=\left\{ 3 \right\}$
کار در کلاس (صفحه 4 کتاب درسی)
1- سه عبارت بنویسید که هرکدام نشان دهندۀ مجموعۀ تهی باشد؛ سپس عبارتهای خود را با نوشتههای هم کلاسیهای خود مقایسه کنید.
1) اعداد صحیح بین 0 و 1
2) اعداد زوج اول بزرگتر از 2
3) اعداد طبیعی بزرگتر از 1 که نه اول باشد و نه مرکب
2- سه عبارت بنویسید که هرکدام مشخص کنندۀ مجموعهای فقط با یک عضو باشد.
3- عبارتهایی که مجموعهای را مشخص میکند با علامت × و مجموعه نبودن بقیه را با ذکر دلیل مشخص کنید.
الف) چهار عدد فرد متوالی
ب) سه عدد طبیعی زوج متوالی با شروع از ٢ ×
ج) عددهای اوّلِ کوچک تر از ٢٠ ×
د) سه شهر ایران
هـ) شمارنده های عدد 24 ×
و) 5 عدد بزرگ
ز) عددهای طبیعی بین ٢ و ٣ ×
4- مانند نمونه کامل کنید:
1) مجموعۀ حروف الفبای فارسی {ی,... ,پ, ب, الف}=A
2) $\left\{ 3,4,5,6,7,8,9 \right\}$ مجموعه عددهای طبیعی بین 2 و 10:G
3) مجموعۀ عددهای صحیح بین ٢- و ٣- $E=\left\{ {} \right\}$
4) مجموعهٔ عددهای طبیعی و مضرب 4 $B=\left\{ 4,8,12,... \right\}$
5) مجموعهٔ عددهای اوّل و یک رقمی $H=\left\{ 2,3,5,7 \right\}$
6) مجموعهٔ عددهای اوّل و مضرب 5 $D=\left\{ 5 \right\}$
7) $\left\{ 3,a,b \right\}$ مجموعۀ حروف a و b و عدد 3: C
8) $\left\{ 6,4,2,8 \right\}$ $F=\left\{ 2,4,6,8 \right\}$
5- کدام یک از عبارتهای زیر مشخص کننده یک مجموعه است؟ با نمودار وِن نشان دهید:
| الف) عددهای صحیح مثبت و کمتر از ١٠ | $\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$ |  |
| ب) شمارنده های اوّلِ عدد ١٩ | $\left\{ 19 \right\}$ |  |
| ج) عددهایی که شش وجه یک تاس معمولی مشخص میکند. | $\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ |  |
| د) جواب های معادلۀ 1=8+x2 | $\left\{ -\frac{7}{2} \right\}$ |  |
| ه) چهار میوه خوشمزه | مجموعه نیست | |
| و) عددهای صحیح منفی و بزرگ تر از 8- | $\left\{ -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 \right\}$ |  |
تمرین (صفحه 5 کتاب درسی)
1- متناظر با هر عبارت، یک مجموعه و متناظر با هر مجموعه، یک عبارت بنویسید و تعداد عضوهای هر مجموعه را تعیین کنید:
الف) $A=\left\{ 1,8,27,64,125 \right\}$ مجموعه مکعبات اعداد طبیعی کمتر از 6
ب) $C=\left\{ 10 \right\}$ مجموعه اعداد طبیعی دو رقمی بین 5 و 11
ج) عددهای طبیعیِ مضرب 5 و کوچک تر از ١٠٠٠ $D=\left\{ 5,10,15,...,995 \right\}$
د) عددهای طبیعی بزرگ تر از ٤ و کوچک تر از 5 $\left\{ {} \right\}$
ه) عددهای صحیح منفی که بین ٤ و ٧ قرار دارد. $\left\{ {} \right\}$
و) عددهای اوّل دورقمی که مضرب ٧ باشد. $\left\{ {} \right\}$
2- جاهای خالی را طوری کامل کنید تا عبارت حاصل، درست باشد.
الف) عبارت «5 عدد طبیعی که بین 1 و 20 قرار داشته باشد» یک مجموعه را مشخص نمیکند.
ب) مجموعه $\left\{ 2,3,4,...,9 \right\}$ دارای 8 عضو است.
ج) مجموعه $A=\left\{ 0,\phi \right\}$ دارای 2 عضو است.
د) با توجه به مجموعه $A=\left\{ 3,5,7,9,11 \right\}$؛ داریم: 5 عضو A است یا با نماد ریاضی، $5\in A$ و 12 عضو A نیست یا با نماد ریاضی، $12\notin A$.
3- سه مجموعۀ متفاوت بنویسید که عدد 2 عضو آن باشد.
1) $A=\left\{ 2,3,5 \right\}$
2) $B=\left\{ 2 \right\}$
3) $C=\left\{ 10,9,8,...,1 \right\}$