تابع کسینوس: همراه همیشگی زاویهها و نوسانها
تعریف تابع کسینوس روی دایرهٔ واحد
در ریاضیات، تابع کسینوس1 به صورت $ y = \cos x $ تعریف میشود، که در آن $ x $ یک عدد حقیقی (معمولاً بر حسب رادیان2) است. برای درک این تابع، دایرهٔ واحدی به مرکز مبدأ و شعاع $ 1 $ در نظر بگیرید. اگر زاویهٔ $ x $ را از محور $ x $ مثبت (افق راست) در خلاف جهت عقربههای ساعت اندازه بگیریم، مختصات نقطۀ برخورد ضلع انتهایی زاویه با دایره برابر $ (\cos x , \sin x) $ خواهد بود. بنابراین، کسینوس هر زاویه برابر طول تصویر نقطه روی محور افقی (محور $ x $) است.
به عنوان مثال، برای زاویهٔ $ x = 0 $، نقطه روی دایره در $ (1,0) $ قرار دارد؛ بنابراین $ \cos 0 = 1 $. برای $ x = \frac{\pi}{2} $ (زاویهٔ $ 90^\circ $)، نقطه در $ (0,1) $ است، پس $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $. این شیوهٔ هندسی پایهای قدرتمند برای محاسبهٔ کسینوس تمام زاویهها فراهم میکند.
جدول مقادیر ویژه و الگوی تناوب
برای آشنایی بیشتر با رفتار تابع، مقادیر کسینوس در زاویههای مهم (بر حسب رادیان و درجه) را در جدول زیر گردآوری کردهایم. دقت کنید که با افزایش زاویه به اندازهٔ $ 2\pi $ (یک دور کامل)، مقادیر تکرار میشوند. این ویژگی، تناوبی بودن تابع کسینوس با دورهٔ تناوب اصلی $ T = 2\pi $ را نشان میدهد.
| زاویه (x) بر حسب رادیان | زاویه (x) بر حسب درجه | مقدار $ \cos x $ |
|---|---|---|
| $ 0 $ | $ 0^\circ $ | $ 1 $ |
| $ \frac{\pi}{6} $ | $ 30^\circ $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $ |
| $ \frac{\pi}{4} $ | $ 45^\circ $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $ |
| $ \frac{\pi}{3} $ | $ 60^\circ $ | $ \frac{1}{2} = 0.5 $ |
| $ \frac{\pi}{2} $ | $ 90^\circ $ | $ 0 $ |
| $ \pi $ | $ 180^\circ $ | $ -1 $ |
| $ \frac{3\pi}{2} $ | $ 270^\circ $ | $ 0 $ |
| $ 2\pi $ | $ 360^\circ $ | $ 1 $ |
همانطور که در جدول میبینید، پس از عبور از $ 2\pi $، مقادیر تکرار میشوند. از نظر ریاضی، برای هر عدد صحیح $ k $ داریم: $ \cos(x + 2k\pi) = \cos x $. به همین دلیل میگوییم تابع کسینوس متناوب است.
ویژگی زوجیت و تقارن نمودار
تابع کسینوس یک تابع زوج3 است. یعنی به ازای هر $ x $ داریم: $ \cos(-x) = \cos x $. این ویژگی باعث میشود نمودار تابع نسبت به محور عمودی (محور $ y $) متقارن باشد. به عنوان مثال، $ \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = 0.5 $. در مقایسه، تابع سینوس فرد است ($ \sin(-x) = -\sin x $) و تقارن مرکزی دارد.
کاربرد عملی: نوسانهای یک فنر
فرض کنید یک جسم به فنر آویزان است و بدون اصطکاک نوسان میکند. اگر جسم را از نقطۀ تعادل به اندازهٔ $ A $ (دامنه) پایین بکشیم و رها کنیم، جابجایی آن بر حسب زمان به صورت $ y(t) = A \cos(\omega t) $ خواهد بود (اگر در لحظهٔ $ t=0 $ جابجایی بیشینه باشد). در اینجا $ \omega $ بسامد زاویهای و $ t $ زمان است.
مثال عددی: اگر دامنهٔ نوسان $ A = 5 $ سانتیمتر و $ \omega = 2 $ رادیان بر ثانیه باشد، جابجایی در لحظهٔ $ t = 1.5 $ ثانیه برابر است با: $ y(1.5) = 5 \cos(2 \times 1.5) = 5 \cos(3) $. با استفاده از ماشین حساب، $ \cos 3 \approx -0.99 $، بنابراین $ y(1.5) \approx -4.95 $ سانتیمتر (یعنی جسم $ 4.95 $ سانتیمتر بالاتر از نقطۀ تعادل قرار گرفته است).
این مدل ساده، پایهٔ بسیاری از پدیدههای فیزیکی از جمله جریان متناوب برق، امواج صوتی و نور را تشکیل میدهد.
چالشهای مفهومی
پاسخ: زیرا بر اساس تعریف روی دایرهٔ واحد، $ \cos x $ برابر طول تصویر نقطه روی محور افقی است. طول این تصویر همواره بین $ -1 $ و $ 1 $ است، زیرا شعاع دایره برابر $ 1 $ واحد است و نقطه روی محیط دایره حرکت میکند.
پاسخ: در دایرهٔ واحد، $ \cos x $ طول افقی (بر روی محور $ x $) و $ \sin x $ طول عمودی (بر روی محور $ y $) نقطه است. همچنین رابطهٔ جابجایی فاز: $ \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2}) $، یعنی نمودار کسینوس، همان سینوس است که $ \frac{\pi}{2} $ واحد به چپ انتقال یافته.
پاسخ: با استفاده از ویژگی تناوب: ابتدا زاویه را به یک زاویهٔ مرجع در بازۀ $ [0, 2\pi) $ تبدیل میکنیم. به عنوان مثال $ \cos(7\pi) = \cos(7\pi - 2\times 3\pi) = \cos(\pi) = -1 $.
جمعبندی
پاورقی
1 کسینوس (Cosine): نسبت ساق مجاور به وتر در یک مثلث قائمالزاویه، و در تعمیم، طول افقی نقطه روی دایرهٔ واحد.
2 رادیان (Radian): واحد اندازهگیری زاویه که برابر زاویهٔ مرکزی مقابل کمانی به طول شعاع دایره است. هر $ 180^\circ $ برابر $ \pi $ رادیان است.
3 تابع زوج (Even Function): تابعی که به ازای هر $ x $ در دامنه، شرط $ f(-x) = f(x) $ برقرار باشد. نمودار آن نسبت به محور قائم متقارن است.