تعداد جواب‌های دستگاه معادلات در اعداد حقیقی

معادله اول را از دوم کم می‌کنیم: (x-1)-(y-1)=yz-zx x-y=z(y-x)=-z(x-y) (x-y)(1+z)=0. به همین ترتیب: 0=(y-z)(1+x) 0=(z-x)(1+y) اگر هیچ دو متغیری برابر نباشند، از روابط بالا نتیجه می‌شود: x=y=z=-1 که با فرض نابرابری آن‌ها تناقض دارد. پس حتماً حداقل دو متغیر برابرند. حالت x=y=z=a را بررسی می‌کنیم: a-1=a^2 a^2-a+1=0, که در اعداد حقیقی جواب ندارد. پس دقیقا دو متغیر برابرند. فرض کنید x=y=a و z=b با a و b برابر نیستند. دستگاه می‌شود: a-1=ab, b-1=a^2. از معادله اول: a-1=ab a(1-b)=1. از معادله دوم: b=a^2+1. جای‌گذاری می‌کنیم: a-1=a(a^2+1)=a^3+a a^3+1=0 a=-1. آن‌گاه: b=(-1)^2+1=2. پس یک جواب به شکل (-1,-1,2) و جایگشت‌های آن داریم: (-1,-1,2), (-1,2,-1), (2,-1,-1). بنابراین دستگاه در اعداد حقیقی دقیقا 3 جواب دارد.