توزیع 5 کتاب بین 3 نفر با حداقل یک کتاب

برای حل این سوال با اصل شمول و عدم شمول، فرض کنیم: - تعداد کل توزیع‌های ممکن بدون محدودیت: هر کتاب می‌تواند به هر کدام از 3 نفر برود، پس تعداد کل گزینه‌ها برابر است با $3^5$. - حالا می‌خواهیم تعداد توزیع‌های که هر فرد حداقل یک کتاب گرفته باشد، یعنی هیچ فردی بدون کتاب نباشد. برای اینکار، از اصل شمول و عدم شمول استفاده می‌کنیم: 1. تعداد توزیع‌های کل بدون محدودیت: $3^5$ 2. تعداد توزیع‌هایی که حداقل یک نفر هیچ کتاب نگیرد: - تعداد توزیع‌هایی که فرد اول هیچ کتاب نگیرد: در این صورت، همه کتاب‌ها بین دو نفر باقی می‌مانند، پس تعداد این موارد $2^5$. - همینطور برای فرد دوم و سوم: هر کدام $2^5$. 3. حالا باید مواردی که بیش از یک نفر هیچ کتاب نگیرد را کم کنیم، چون در اصل، این موارد دوبار شمرده شده‌اند، پس: - تعداد توزیع‌هایی که فرد اول و دوم هیچ کتاب نگیرد: در این صورت، همه کتاب‌ها به فرد سوم می‌رود، فقط 1 حالت. - همینطور برای فرد اول و سوم: 1 حالت. - و برای فرد دوم و سوم: 1 حالت. 4. در نهایت، تعداد توزیع‌های مورد نظر با فرمول زیر است: $ \text{تعداد توزیع‌های ممکن} = 3^5 - \binom{3}{1} 2^5 + \binom{3}{2} 1^5 $ که در آن: - $\binom{3}{1} = 3$ (انتخاب فردی که هیچ کتاب نگیرد) - $\binom{3}{2} = 3$ (انتخاب دو فرد که هیچ کتاب نگیرد) و عددها را جایگذاری می‌کنیم: $ 3^5 - 3 \times 2^5 + 3 \times 1^5 = 243 - 3 \times 32 + 3 \times 1 = 243 - 96 + 3 = 150 $ پس، تعداد توزیع‌های ممکن برابر است با 150.