اثبات اینکه اعداد متوالی مرکب در فاصلۀ n!+2 تا n!+n در نظریه اعداد

برای اثبات اینکه اعداد \( n! + 2, n! + 3, \ldots, n! + n \) همگی مرکب هستند، به شرطی که \( n &amp;gt; 1 \)، از تعریف عدد مرکب و ویژگی فاکتوریل استفاده می‌کنیم. ### تعریف عدد مرکب یک عدد صحیح بزرگتر از 1، مرکب است اگر بتوان آن را به صورت حاصل‌ضرب دو عدد صحیح کوچکتر از خودش نوشت. به عبارت دیگر، اگر \( k \) یک عدد مرکب باشد، آنگاه \( k = a \times b \) که \( 1 &amp;lt; a, b &amp;lt; k \). ### ویژگی فاکتوریل عدد \( n! \) (n فاکتوریل) برابر است با حاصل‌ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از 1 تا \( n \): $ n! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n $ بنابراین، \( n! \) بر تمام اعداد صحیح از 1 تا \( n \) بخش‌پذیر است. ### اثبات می‌خواهیم ثابت کنیم که هر عدد در دنباله \( n! + 2, n! + 3, \ldots, n! + n \) مرکب است. 1. <b>بررسی عدد \( n! + 2 \):</b> از آنجا که \( n &amp;gt; 1 \)، پس \( n \ge 2 \). در نتیجه، \( 2 \) یکی از عوامل \( n! \) است. یعنی \( n! \) بر \( 2 \) بخش‌پذیر است. همچنین، \( 2 \) بر \( 2 \) بخش‌پذیر است. بنابراین، \( n! + 2 \) بر \( 2 \) بخش‌پذیر است. از آنجا که \( n &amp;gt; 1 \)، \( n! \ge 2 \). بنابراین \( n! + 2 &amp;gt; 2 \). پس \( n! + 2 \) حاصل‌ضرب دو عدد کوچکتر از خودش (که یکی از آنها 2 است) می‌باشد و مرکب است. 2. <b>بررسی عدد \( n! + 3 \):</b> از آنجا که \( n \ge 3 \) (چون \( n &amp;gt; 1 \) و ما می خواهیم \( n! + 3 \) را بررسی کنیم. اگر \( n=2 \)، دنباله فقط \( 2!+2 \) را شامل می شود که قبلا بررسی شد. بنابراین برای بررسی \( n!+3 \) باید \( n \ge 3 \) در نظر بگیریم)، پس \( 3 \) یکی از عوامل \( n! \) است. یعنی \( n! \) بر \( 3 \) بخش‌پذیر است. همچنین، \( 3 \) بر \( 3 \) بخش‌پذیر است. بنابراین، \( n! + 3 \) بر \( 3 \) بخش‌پذیر است. از آنجا که \( n \ge 3 \)، \( n! \ge 6 \). بنابراین \( n! + 3 &amp;gt; 3 \). پس \( n! + 3 \) حاصل‌ضرب دو عدد کوچکتر از خودش (که یکی از آنها 3 است) می‌باشد و مرکب است. 3. <b>تعمیم برای \( n! + k \) که \( 2 \le k \le n \):</b> برای هر عدد \( k \) در بازه \( [2, n] \)، می‌دانیم که \( k \) یکی از عوامل \( n! \) است (زیرا \( n! = 1 \times 2 \times \cdots \times k \times \cdots \times n \)). پس \( n! \) بر \( k \) بخش‌پذیر است. همچنین، \( k \) بر \( k \) بخش‌پذیر است. بنابراین، \( n! + k \) بر \( k \) بخش‌پذیر است. از آنجا که \( n &amp;gt; 1 \)، \( n! \ge 2 \). پس \( n! + k &amp;gt; k \). در نتیجه، \( n! + k \) را می‌توان به صورت \( k \times m \) نوشت که \( m = (n!/k) + 1 \). چون \( n!+k &amp;gt; k \)، پس \( m &amp;gt; 1 \). بنابراین، \( n! + k \) حاصل‌ضرب دو عدد صحیح \( k \) و \( m \) است که هر دو بزرگتر از 1 و کوچکتر از \( n! + k \) هستند. پس \( n! + k \) مرکب است. این اثبات نشان می‌دهد که تمام اعداد در دنباله \( n! + 2, n! + 3, \ldots, n! + n \) مرکب هستند. این دنباله شامل \( n-1 \) عدد متوالی است.