معادله داده شده به صورت زیر است: $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4} $ ابتدا، مخرج مشترک سمت چپ را محاسبه می‌کنیم که $mn^2$ است: $ \frac{n^2}{mn^2} + \frac{mn}{mn^2} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4} $ $ \frac{n^2 + mn - 1}{mn^2} = \frac{3}{4} $ حالا طرفین معادله را ضربدر 4 و $mn^2$ می‌کنیم تا مخرج‌ها را حذف کنیم: $ 4(n^2 + mn - 1) = 3mn^2 $ $ 4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2 $ همه جملات را به یک سمت معادله منتقل می‌کنیم: $ 3mn^2 - 4mn - 4n^2 + 4 = 0 $ این معادله کمی پیچیده به نظر می‌رسد. سعی می‌کنیم با فاکتورگیری آن را ساده‌تر کنیم. با توجه به اینکه $m$ و $n$ اعداد طبیعی هستند، مقادیر مثبتی خواهند داشت. بیایید معادله را بر حسب $m$ مرتب کنیم: $ m(3n^2 - 4n) = 4n^2 - 4 $ $ m = \frac{4n^2 - 4}{3n^2 - 4n} $ $ m = \frac{4(n^2 - 1)}{n(3n - 4)} $ چون $m$ باید یک عدد طبیعی باشد، $m > 0$. همچنین $n$ یک عدد طبیعی است، پس $n \ge 1$. تحلیل مخرج: $n(3n - 4)$ * اگر $n=1$، مخرج $1(3(1)-4) = 1(-1) = -1$. * اگر $n=2$، مخرج $2(3(2)-4) = 2(6-4) = 2(2) = 4$. * اگر $n=3$، مخرج $3(3(3)-4) = 3(9-4) = 3(5) = 15$. حالت 1: $n=1$ اگر $n=1$، آنگاه: $ m = \frac{4(1^2 - 1)}{1(3(1) - 4)} = \frac{4(0)}{-1} = 0 $ چون $m$ باید یک عدد طبیعی باشد ($m \ge 1$)، $m=0$ قابل قبول نیست. پس $n=1$ جواب ندارد. حالت 2: $n=2$ اگر $n=2$، آنگاه: $ m = \frac{4(2^2 - 1)}{2(3(2) - 4)} = \frac{4(4 - 1)}{2(6 - 4)} = \frac{4(3)}{2(2)} = \frac{12}{4} = 3 $ در این حالت، $m=3$ یک عدد طبیعی است. پس $(m, n) = (3, 2)$ یک جواب است. بررسی: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3 \times 2^2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $ این جواب درست است. حالت 3: $n \ge 3$ در این حالت، هم صورت $4(n^2 - 1)$ و هم مخرج $n(3n - 4)$ مثبت هستند. برای اینکه $m$ یک عدد طبیعی باشد، $n(3n - 4)$ باید مقسوم‌علیه $4(n^2 - 1)$ باشد. بیایید عبارت $m$ را کمی دستکاری کنیم تا رفتار آن را برای $n$های بزرگتر ببینیم: $ m = \frac{4n^2 - 4}{3n^2 - 4n} $ می‌توانیم از تقسیم چند جمله‌ای استفاده کنیم یا عبارت را به شکلی بنویسیم که بتوانیم آن را ساده‌تر کنیم. $ m = \frac{\frac{4}{3}(3n^2 - 4n) + \frac{16}{3}n - 4}{3n^2 - 4n} $ $ m = \frac{4}{3} + \frac{\frac{16}{3}n - 4}{3n^2 - 4n} $ $ m = \frac{4}{3} + \frac{16n - 12}{3n(3n - 4)} $ برای اینکه $m$ یک عدد صحیح مثبت باشد، عبارت کسری باید طوری باشد که با $4/3$ جمع شود و نتیجه صحیح شود. این موضوع کمی پیچیده است. یک رویکرد دیگر این است که بررسی کنیم چه زمانی $n(3n-4)$ می‌تواند مقسوم‌علیه $4(n^2-1)$ باشد. برای $n \ge 3$، داریم: $n \ge 3$ $3n - 4 \ge 3(3) - 4 = 5$ $n(3n - 4) \ge 3 \times 5 = 15$ و $n^2 - 1 \ge 3^2 - 1 = 8$ $4(n^2 - 1) \ge 4 \times 8 = 32$ بیایید نسبت صورت به مخرج را در نظر بگیریم: $ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 - 4}{3n^2 - 4n} = \frac{4}{3} $ این یعنی برای مقادیر بزرگ $n$، $m$ به $4/3$ نزدیک می‌شود. از آنجایی که $m$ باید یک عدد طبیعی باشد ($m \ge 1$)، و $4/3 \approx 1.33$، این نشان می‌دهد که تنها مقدار طبیعی ممکن برای $m$ در این حالت، $m=1$ است. حالا بررسی کنیم که آیا $m=1$ می‌تواند جواب باشد: اگر $m=1$، آنگاه: $ 1 = \frac{4n^2 - 4}{3n^2 - 4n} $ $ 3n^2 - 4n = 4n^2 - 4 $ $ 0 = n^2 + 4n - 4 $ با استفاده از فرمول دلتا برای حل معادله درجه دوم: $ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32 $ $ n = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2} $ این مقادیر برای $n$ طبیعی نیستند. پس $m=1$ جواب ندارد. بررسی مجدد عبارت $m = \frac{4(n^2 - 1)}{n(3n - 4)}$ برای $n \ge 3$ برای اینکه $m$ طبیعی باشد، باید $n(3n-4)$ مقسوم‌علیه $4(n^2-1)$ باشد. همچنین $n(3n-4)$ باید از $4(n^2-1)$ کوچکتر یا مساوی باشد (چون $m \ge 1$). $ n(3n - 4) \le 4(n^2 - 1) $ $ 3n^2 - 4n \le 4n^2 - 4 $ $ 0 \le n^2 + 4n - 4 $ همانطور که قبلاً دیدیم، ریشه‌های $n^2 + 4n - 4 = 0$ عبارتند از $ -2 \pm 2\sqrt{2} $. مقدار $ -2 + 2\sqrt{2} \approx -2 + 2(1.414) = -2 + 2.828 = 0.828 $. پس نامساوی $n^2 + 4n - 4 \ge 0$ برای $n \ge 1$ برقرار است (چون $n$ باید طبیعی باشد). این یعنی این شرط همیشه برای $n \ge 1$ برقرار است و اطلاعات جدیدی به ما نمی‌دهد. با توجه به اینکه $ \lim_{n \to \infty} m = 4/3 $، و $m$ باید طبیعی باشد، تنها مقدار ممکن برای $m$ که می‌تواند از $4/3$ بزرگتر یا مساوی باشد، $m=1$ بود که آن هم جواب نداد. این نشان می‌دهد که برای $n \ge 3$، هیچ جواب طبیعی برای $m$ وجود ندارد. جمع‌بندی: تنها جواب یافت شده برای اعداد طبیعی $m$ و $n$ عبارت است از: $ (m, n) = (3, 2) $ اگر به صورت قرینه هم بررسی کنیم، یعنی معادله را بر حسب $n$ حل کنیم: $ \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4} $ $ \frac{n^2 + mn - 1}{mn^2} = \frac{3}{4} $ $ 4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2 $ $ 4n^2 - 4 = 3mn^2 - 4mn $ $ 4(n^2 - 1) = mn(3n - 4) $ $ m = \frac{4(n^2 - 1)}{n(3n - 4)} $ این همان رابطه‌ای است که قبلا به دست آوردیم. حالا اگر فرض کنیم $m$ را داریم و $n$ را پیدا کنیم: $ 4n^2 + 4mn - 4 = 3mn^2 $ $ 3mn^2 - 4mn - 4n^2 + 4 = 0 $ این یک معادله درجه دوم بر حسب $n$ است: $ (3m)n^2 + (-4m)n + (-4n^2+4) = 0 $ (این فرمول‌بندی اشتباه است) معادله را به صورت زیر مرتب می‌کنیم: $ 3mn^2 - 4mn - 4n^2 + 4 = 0 $ $ (3m - 4)n^2 - 4mn + 4 = 0 $ این یک معادله درجه دوم بر حسب $n$ است. برای اینکه $n$ حقیقی باشد، مبین (دلتا) باید نامنفی باشد. $ \Delta = (-4m)^2 - 4(3m - 4)(4) \ge 0 $ $ 16m^2 - 16(3m - 4) \ge 0 $ $ m^2 - (3m - 4) \ge 0 $ $ m^2 - 3m + 4 \ge 0 $ مبین این عبارت درجه دوم بر حسب $m$ برابر است با $ (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 $. از آنجایی که ضریب $m^2$ مثبت است و مبین منفی، عبارت $m^2 - 3m + 4$ همیشه مثبت است. این یعنی برای هر $m$ طبیعی، $n$ حقیقی خواهد بود. حالا باید $n$ را پیدا کنیم: $ n = \frac{-(-4m) \pm \sqrt{16m^2 - 16(3m - 4)}}{2(3m - 4)} $ $ n = \frac{4m \pm \sqrt{16m^2 - 48m + 64}}{2(3m - 4)} $ $ n = \frac{4m \pm 4\sqrt{m^2 - 3m + 4}}{2(3m - 4)} $ $ n = \frac{2m \pm 2\sqrt{m^2 - 3m + 4}}{3m - 4} $ برای اینکه $n$ یک عدد طبیعی باشد، $m^2 - 3m + 4$ باید مربع کامل باشد. فرض کنیم $ m^2 - 3m + 4 = k^2 $ برای یک عدد صحیح نامنفی $k$. اگر $m=1$، $1 - 3 + 4 = 2$ (مربع کامل نیست). اگر $m=2$، $4 - 6 + 4 = 2$ (مربع کامل نیست). اگر $m=3$، $9 - 9 + 4 = 4 = 2^2$. پس $k=2$. اگر $m=3$، آنگاه: $ n = \frac{2(3) \pm 2(2)}{3(3) - 4} = \frac{6 \pm 4}{9 - 4} = \frac{6 \pm 4}{5} $ دو مقدار برای $n$ داریم: $ n_1 = \frac{6 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2 $ $ n_2 = \frac{6 - 4}{5} = \frac{2}{5} $ چون $n$ باید طبیعی باشد، $n=2$ قابل قبول است. این به ما جواب $(m, n) = (3, 2)$ را می‌دهد. حالا بررسی کنیم که آیا برای $m > 3$، $m^2 - 3m + 4$ می‌تواند مربع کامل باشد. می‌دانیم که $ (m-2)^2 = m^2 - 4m + 4 $ و $ (m-1)^2 = m^2 - 2m + 1 $. ما داریم $ m^2 - 3m + 4 $. برای $ m \ge 3 $: $ (m-2)^2 = m^2 - 4m + 4 < m^2 - 3m + 4 $ (چون $-4m < -3m$) $ m^2 - 3m + 4 < m^2 - 2m + 1 $ اگر $ -3m + 4 < -2m + 1 \Rightarrow 3 < m $. پس برای $m > 3$: $ (m-2)^2 < m^2 - 3m + 4 < (m-1)^2 $ این یعنی $ m^2 - 3m + 4 $ بین دو مربع کامل متوالی قرار دارد و بنابراین خودش نمی‌تواند مربع کامل باشد. تنها مقدار $m$ که $m^2 - 3m + 4$ را مربع کامل می‌کند، $m=3$ است. بنابراین، تنها زوج اعداد طبیعی $(m, n)$ که در معادله صدق می‌کند، $(3, 2)$ است. پاسخ نهایی: تنها زوج اعداد طبیعی $(m, n)$ که در معادله صدق می‌کنند، $(3, 2)$ است.

اعداد طبیعی m و n که معادله را برآورده می‌کنند