اثبات عدم امکان قرار دادن علامت‌های + و - در اعداد 1 تا 100 برای رسیدن به مجموع 123

برای اثبات این موضوع، از خاصیت زوج و فرد بودن اعداد استفاده می‌کنیم. مجموع اعداد از 1 تا 100 برابر است با: $ S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \frac{100 \times (100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050 $ حالا فرض کنید علامت‌های \(+\) و \(-\) را به این صورت قرار می‌دهیم: $ \pm 1 \pm 2 \pm 3 \pm \dots \pm 100 = 123 $ هر عدد در این مجموع یا با علامت \(+\) یا با علامت \(-\) ظاهر می‌شود. بگذارید \( P \) مجموع اعدادی باشد که با علامت \(+\) ظاهر می‌شوند و \( N \) مجموع اعدادی باشد که با علامت \(-\) ظاهر می‌شوند. پس داریم: $ P - N = 123 $ همچنین، مجموع کل اعداد برابر است با: $ P + N = 5050 $ حالا دو معادله بالا را با هم جمع می‌کنیم: $ (P - N) + (P + N) = 123 + 5050 $ $ 2P = 5173 $ حال بررسی می‌کنیم که آیا \( 5173 \) بر 2 بخش‌پذیر است یا خیر. عدد 5173 فرد است، بنابراین بر 2 بخش‌پذیر نیست. $ P = \frac{5173}{2} = 2586.5 $ چون \( P \) مجموع تعدادی از اعداد صحیح (1 تا 100) است، \( P \) باید یک عدد صحیح باشد. اما حاصل \( \frac{5173}{2} \) یک عدد اعشاری است. این یک تناقض است. <b>توضیح بیشتر از دیدگاه زوج و فرد:</b> * مجموع اعداد 1 تا 100 شامل 50 عدد فرد (1، 3، ...، 99) و 50 عدد زوج (2، 4، ...، 100) است. * مجموع اعداد فرد: \( 1 + 3 + \dots + 99 = \frac{50}{2} (1 + 99) = 25 \times 100 = 2500 \) (زوج) * مجموع اعداد زوج: \( 2 + 4 + \dots + 100 = \frac{50}{2} (2 + 100) = 25 \times 102 = 2550 \) (زوج) * مجموع کل اعداد \( 2500 + 2550 = 5050 \) (زوج) حالا اگر \( x_i \) علامت (\(+\) یا \(-\)) را برای عدد \( i \) نشان دهد، داریم: $ \sum_{i=1}^{100} x_i \cdot i = 123 $ تغییر علامت یک عدد فرد، زوجیت کل مجموع را تغییر می‌دهد. تغییر علامت یک عدد زوج، زوجیت کل مجموع را تغییر نمی‌دهد. مجموع اصلی 5050 زوج است. هدف ما رسیدن به 123 است که فرد است. برای تغییر زوجیت مجموع از زوج به فرد، باید تعداد فردی از اعداد فرد، علامتشان عوض شود. فرض کنید \( A \) تعدادی از اعداد فرد و \( B \) تعدادی از اعداد زوج باشند که علامتشان را عوض می‌کنیم. تغییر کلی در مجموع برابر است با: $ \Delta S = (\text{مجموع اعداد فرد با علامت منفی}) + (\text{مجموع اعداد زوج با علامت منفی}) - (\text{مجموع اعداد فرد با علامت مثبت}) - (\text{مجموع اعداد زوج با علامت مثبت}) $ $ \Delta S = \sum_{i \in \text{odd}, \text{neg}} i - \sum_{i \in \text{odd}, \text{pos}} i + \sum_{i \in \text{even}, \text{neg}} i - \sum_{i \in \text{even}, \text{pos}} i $ $ \Delta S = -2 \times (\text{مجموع اعداد فردی که منفی شده‌اند}) + 0 \pmod 2 $ پس تغییر در مجموع همیشه زوج است. از آنجایی که مجموع اولیه (5050) زوج است و هر تغییری که با عوض کردن علامت‌ها اعمال کنیم، زوج است، نتیجه نهایی باید همیشه زوج باشد. اما 123 یک عدد فرد است. بنابراین، غیرممکن است که با قرار دادن علامت‌های \(+\) و \(-\) بین اعداد 1 تا 100، حاصل برابر 123 شود. <b>اثبات با استفاده از زوجیت (توضیح تکمیلی):</b> * مجموع همه اعداد \( S = 5050 \) (زوج). * فرض کنید \( E \) مجموعه اعداد زوج و \( O \) مجموعه اعداد فرد در بازه 1 تا 100 باشد. * \( \sum_{i \in E} i \) زوج است. * \( \sum_{i \in O} i \) زوج است (چون 50 عدد فرد داریم که مجموعشان زوج می‌شود). * وقتی علامتی را برای عددی عوض می‌کنیم: * اگر عدد زوج باشد، زوجیت کل مجموع تغییر نمی‌کند. * اگر عدد فرد باشد، زوجیت کل مجموع تغییر می‌کند (از زوج به فرد یا از فرد به زوج). * برای اینکه مجموع نهایی \( 123 \) (فرد) شود، باید زوجیت مجموع را از \( 5050 \) (زوج) تغییر دهیم. این کار تنها زمانی ممکن است که تعداد فردی از اعداد فرد، علامتشان عوض شود. * فرض کنید \( P \) مجموع اعداد مثبت و \( N \) مجموع اعداد منفی باشد. \( P - N = 123 \) \( P + N = 5050 \) \( 2P = 5173 \) \( P = 2586.5 \) چون \( P \) باید مجموع تعدادی از اعداد صحیح باشد، نمی‌تواند کسری باشد. این نشان‌دهنده غیرممکن بودن این مسئله است. <b>بنابراین، ثابت شد که نمی‌توان علامت‌های \(+\) و \(-\) را طوری بین اعداد 1، 2، ... و 100 قرار داد که حاصل برابر 123 شود.</b>