تعداد اعداد 13 رقمی با مجموع سه رقم متوالی زوج

مجموع سه عدد $a_i + a_{i+1} + a_{i+2}$ زوج است. اعداد ما از مجموعه $\{1, 2, 3, 4\}$ هستند که در آن: - اعداد فرد (O): $\{1, 3\}$ (تعداد: 2 عدد) - اعداد زوج (E): $\{2, 4\}$ (تعداد: 2 عدد) از آنجایی که برای هر جایگاه، 2 انتخاب از بین اعداد فرد و 2 انتخاب از بین اعداد زوج داریم، می‌توانیم مسئله را با استفاده از زوج یا فرد بودن ارقام بررسی کنیم. فرض کنید $x_i$ زوج/فرد بودن رقم $i$-ام باشد. شرط زوج بودن مجموع سه رقم متوالی یعنی: $x_i + x_{i+1} + x_{i+2} \equiv 0 \pmod 2$ این رابطه معادل است با: $x_{i+2} \equiv x_i + x_{i+1} \pmod 2$. این دقیقاً مشابه تعریف دنباله فیبوناچی (در پیمانه 2) است. یعنی هر رقم توسط دو رقم قبلی تعیین می‌شود. ### تحلیل گام‌به‌گام: 1. انتخاب دو رقم اول: ما 13 جایگاه داریم. دو رقم اول ($x_1$ و $x_2$) را می‌توانیم به دلخواه انتخاب کنیم: - برای هر جایگاه 4 انتخاب داریم ($1, 2, 3, 4$). - بنابراین $4 \times 4 = 16$ حالت برای دو رقم اول وجود دارد. 2. تعیین ارقام بعدی: بعد از انتخاب دو رقم اول، تمام ارقام بعدی (از $x_3$ تا $x_{13}$) به صورت خودکار با شرط زوج/فرد بودن تعیین می‌شوند. اما آیا این ارقام همیشه وجود دارند؟ - اگر $x_1$ و $x_2$ فرد یا زوج باشند، $x_3$ مشخص می‌شود. - به طور کلی، چون مجموع باید زوج باشد، اگر $x_i$ و $x_{i+1}$ مشخص باشند، $x_{i+2}$ باید طوری انتخاب شود که زوج/فرد بودن آن با شرط جور در بیاید. - برای هر جایگاه $i \ge 3$، اگر $x_{i-2} + x_{i-1}$ زوج باشد، $x_i$ باید زوج باشد (2 انتخاب: 2 یا 4). اگر $x_{i-2} + x_{i-1}$ فرد باشد، $x_i$ باید فرد باشد (2 انتخاب: 1 یا 3). در هر صورت، برای هر جایگاه از 3 تا 13، دقیقاً 2 انتخاب داریم (یا هر دو زوج، یا هر دو فرد). ### محاسبه نهایی: - 2 رقم اول: $4 \times 4 = 16$ حالت. - 11 رقم بعدی: برای هر کدام 2 انتخاب داریم = $2^{11}$ حالت. تعداد کل برابر است با: $16 \times 2^{11} = 2^4 \times 2^{11} = 2^{15}$ $2^{15} = 32,768$ بنابراین، 32,768 عدد 13 رقمی با این ویژگی وجود دارد.