نکته: بسط دترمینان ماتریس $3\times 3$ برحسب سطر دوم به‌صورت زیر است:

$\left| A \right|=\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & {{a}_{23}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|=- {{a}_{21}}\left| \begin{matrix} {{a}_{12}} & {{a}_{13}} \\ {{a}_{32}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|+{{a}_{22}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{33}} \\ \end{matrix} \right|-{{a}_{23}}\left| \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} \\ {{a}_{31}} & {{a}_{32}} \\ \end{matrix} \right|$

نکته: $\left| {{A}^{-1}} \right|=\frac{1}{\left| A \right|}$

با توجه به نکات بالا داریم:

$\left| A \right|=4\left| {{A}^{-1}} \right|\Rightarrow \left| A \right|=4\times \frac{1}{\left| A \right|}\Rightarrow {{\left| A \right|}^{2}}=4\Rightarrow \left| A \right|=\pm 2$

$A=\left[ \begin{matrix} m & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & m \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow \left| A \right|=-(-2)\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & m \\ \end{matrix} \right|+0-3\left| \begin{matrix} m & 1 \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right|$

$=2(m-8)-3(4m-1)=2m-16-12m+3=-10m-13$

$\left\{ _{\left| A \right|=-2\Rightarrow -10m-13=-2\Rightarrow m=-\frac{11}{10}=-1/1}^{\left| A \right|=2\Rightarrow -10m-13=2\Rightarrow m=-\frac{15}{10}=-1/5} \right.$

بنابراین مجموع مقادیر ممکن برای $m$ برابر است با: $-1/5-1/1=-2/6$

ماتریس $A=\left[ \begin{matrix} m & ۱ & ۲ \\ -۲ & ۰ & ۳ \\ ۱ & ۴ & m \\ \end{matrix} \right]$ مفروض است. اگر $\left| A \right|=۴\left| {{A}^{-۱}} \right|$، آنگاه مجموع مقادیر ممکن برای $m$ کدام است؟