روشهای انتگرال گیری همراه با مثال و توضیحات

آموزش آسان و بسیار جالب که به سادگی میتونه کمکتون کنه برا حل مسایل سخت مشتق.

گشتاور خارجی در اثر گرانش و اصطکاک ایجاد می شود و باعث می شود که چرخ چرخ به صورت عمودی حول محور خود شروع به چرخش کند تا پایستگی اندازه حرکت زاویه ای برآورده شود. دقیقاً به همین دلیل است که نشستن روی یک دوچرخه در حال حرکت آسان تر از نشستن روی دوچرخۀ ساکن است. روش انجام آزمایش به این صورت است: چرخ دوچرخه از یک سر محور آن با ریسمانی اویزان شده است و به کمک دست چرخانه می شود. پس از چرخش اولیه، محور چرخ به حالت افقی تغییر داده می شود به نظر می رسد که زیروسکوپ با گرانش مقابله می کند، زیرا گشتاور چرخ گردان، گشتاور ناشی از نیروی گرانش را خنثی می کند. ژیروسکوپ در کاربردهای مختلفی مانند پایدارسازی فضا پیماهه و سیستم های ناوبری کشتی ها و موشک ها استفاده می شود.

نیرویی که در اثر چرخش چرخ ایجاد می شود، منجر به چرخش شخص روی پایه گردان می شود تا اندازه حرکت زاویه ای حفظ شود. در این حالت، چرخ به صورت عمودی شروع به چرخیدن می کند و شخص بسته به میزان کجی ( زاویه انحراف نسبت به حالت عمودی) چرخ، به چپ یا راست می چرخد.

این آزمایش ترکیبی از اثر ضربه ناگهانی و برخورد غیر الاستیک را نشان می دهد. هر یک از اسکیت سوارها، تکانه (اندازه حرکت) خود را در اثر دو عامل پرتاب بالشت و گرفتن بالشت به دست می آورند.

در این آزمایش، از گهوارۀ نیوتنی در حالتی استفاده شده است که یک گلوله سنگین به رشته ای از چند گلولۀ سبک تر برخورد می کند. تکانۀ گوی سنگین به زنجیرۀ گلوله های سبک انتقال می یابد.تکانه بین سه گوی پایانی تقسیم شده است. اگر به فیلم دقت کنید متوجه می شوید که سرعت این سه گلوله با هم فرق دارد. اولین گلوله از سمت راست، بیشترین سرعت را دارد، سرعت گلوله دوم، نصف گلوله اول است و سرعت گلوله سوم، نصف گلوله دوم است. این نتیجه گیری ناشی از دو برابر شدن فاصله بین دو گلوله متوالی است.

گهواره نیوتونی (Newton's cradle) دستگاهی است که از زنجیره ای از آونگ های ساده درست شده و وسیله مناسبی برای اثبات پایستگی تکانه و پایستگی انرژی است. هنگامی که یکی از گوی‌ها در یک سر گهواره رها شود، نیروی پدیدآمده از زنجیرۀ گوی ها عبور می کند و گوی طرف دیگر را از جا بلند می‌کند و این روند ادامه می‌یابد. اگر هیچ نیروی خارجی بر سیستم اثر نکند و یا برآیند نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، تکانهٔ خطی و مقدار انرژی در سیستم با گذشت زمان ثابت می‌ماند. گهواره نيوتنی علاوه بر بقاي انرژي جنبشي در لحظه برخورد، بقاي اندازه حركت نيز وجود دارد . 1- بقای انرژی : بعد از برخورد K1+K2=K1+K2 قبل از برخورد 2- بقای اندازه حرکت : بعد از برخورد P1+P2=P1+P2 قبل از برخورد برای آنکه این دو قانون برقرار باشند الزاما بایستی اگر یک گلوله به بقیه گلوله ها برخورد کند از طرف دیگر نیز فقط یک گلوله با همان سرعت از بقیه جدا شود و در صورتیکه دو گلوله را با بقیه گلوله ها برخورد دهیم از آنطرف نیز دو گلوله جدا خواهد شد .

در این آزمایش یک توپ تنیس روی یک توپ بسکتبال چسبانده شده است و به طور همزمان رها می شوند. هر چه به زمین نزدیک می شوند، انرژی پتانسیل آنها به انرژی جنبشی تبدیل می شود و سرعت آنها افزایش می یابد. بنابراین درست در لحظه برخورد با زمین بیشترین سرعت را دارند و در نتیجه اندازه حرکت این مجموعه برابر حاصل ضرب سرعت در جرم کل است. وقتی به زمین برخورد می کنند،توپ تنیس و بسکتبال از یکدیگر جدا می شوند و هر کدام با تکانۀ قبل از برخورد به حرکت خود ادامه می دهند. نتیجه آن است که هر دو توپ بعد از برخورد به زمین تکانۀ برابری دارند ولی چون توپ تنیس خیلی سبک تر است، حرکت خیلی سریعتری خواهد داشت.

ارابه ای در حال حرکت به ارابه ای در حال سکون برخورد می کند. جرم ارابه متحرک بیشتر از ارابه ساکن است. پس از برخورد دو ارابه به هم می چسبند. با توجه به قانون بقای تکانه (اندازه حرکت)، مجموع تکانۀ ارابه ها قبل از برخورد با بعد از آن برابر است. پس از برخورد، چون جرم دستگاه جدید از جرم ارابه متحرک بیشتر است، دستگاه با سرعت کمتری به حرکت ادامه می دهد. برخورد دو ارابه در این آزمایش از نوع غیرالاستیک است. در برخورد غیرالاستیک قانون بقای تکانه قبل و بعد از برخورد مشاهده می شود. اما بخشی از انرژی جنبشی به شکل دیگری مانند گرما یا کار مکانیکی تبدیل می شود.

ارابه ای در حال حرکت به ارابه ای در حال سکون برخورد می کند. جرم ارابه متحرک کمتر از ارابه ساکن است. اندازه حرکت ارابه متحرک به ارابه ساکن منتقل می شود. با توجه به قانون بقای تکانه (اندازه حرکت)، مجموع تکانۀ ارابه ها قبل از برخورد با بعد از آن برابر است. پس از برخورد، چون ارابه ساکن جرم بیشتری دارد، سرعت کمتری نسبت به ارابه متحرک می گیرد. برخورد دو ارابه در این آزمایش از نوع الاستیک است. در برخورد الاستیک قانون بقای تکانه و قانون بقای انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد مشاهده می شود. این بدان معنی است که انرژی جنبشی بعد از برخورد به نوع دیگری از انرژی تبدیل نمی شود و هنوز به صورت جنبشی وجود دارد.

ارابه ای در حال حرکت به ارابه ای در حال سکون برخورد می کند. جرم ارابه متحرک بیشتر از ارابه ساکن است. اندازه حرکت ارابه متحرک به ارابه ساکن منتقل می شود. با توجه به قانون بقای تکانه (اندازه حرکت)، مجموع تکانۀ ارابه ها قبل از برخورد با بعد از آن برابر است. پس از برخورد، چون ارابه ساکن جرم کمتری دارد، سرعت بیشتری نسبت به ارابه متحرک می گیرد. برخورد دو ارابه در این آزمایش از نوع الاستیک است. در برخورد الاستیک قانون بقای تکانه و قانون بقای انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد مشاهده می شود. این بدان معنی است که انرژی جنبشی بعد از برخورد به نوع دیگری از انرژی تبدیل نمی شود و هنوز به صورت جنبشی وجود دارد.

ارابه ای در حال حرکت به ارابه ای در حال سکون برخورد می کند. جرم دو ارابه برابر است. اندازه حرکت ارابه متحرک به ارابه ساکن منتقل می شود. با توجه به قانون بقای تکانه (اندازه حرکت، مجموع تکانۀ ارابه ها قبل از برخورد با بعد از آن برابر است. برخورد دو ارابه در این آزمایش از نوع الاستیک است. در برخورد الاستیک قانون بقای تکانه و قانون بقای انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد مشاهده می شود. این بدان معنی است که انرژی جنبشی بعد از برخورد به نوع دیگری از انرژی تبدیل نمی شود و هنوز به صورت جنبشی وجود دارد.

در این آزمایش بر خلاف آنچه شما انتظار دارید، مرکز جرم (ثقل) قرص فلزی در وسط آن قرار ندارد. بنابراین، اگر قرص طوری روی صفحه شیب دار قرار گیرد، که مرکز ثقل بالاتر از مرکز خود قرص باشد، گشتاور نیروی حاصل از جرم متمرکز شده در مرکز ثقل باعث می شود که قرص در سربالایی حرکت کند.

مقدار کشیدگی فنر به وزن جسم و ضریب ثابت فنر بستگی دارد.

چون جرم های دو متحرک، برابر نیست، پس از وارد شدن ضربه سرعت آنها یکسان نخواهند بود. جسمی که جرم بزرگ تری دارد، سرعت کمتری خواهد داشت و جسمی که جرم کمتری دارد، سرعت بیشتری خواهد داشت. با این حال اندازه حرکت (تکانه) دو متحرک برابر است.

چون دو متحرک، جرم های برابری دارند، پس از وارد شدن ضربه هر دو دارای سرعت یکسانی خواهند بود و تکانه آنها نیز با هم برابر است.

پرنده جادویی طوری طراحی شده است که مرکز جرم آن دقیقاً در نوک پرنده واقع شده است. این پرنده می تواند با نوک خود روی انگشت شما، روی بینی یا حتی روی ته خودکار بنشیند، زیرا نوک پرنده مرکز جرم و نقطه تعادل پایداری برای او است.

مادامی که سطل در یک مسیر دایره ای می چرخد، آب داخل سطل نمی ریزد.زیرا نیروی جانب مرکز به سطل و آب داخل آن وارد می شود.

زمانی که ماشین، مسیر دایره ای را طی می کند، شتاب مرکزگرا (جانب مرکز) را تجربه می کند.نیروی جانب مرکز طوری روی جسم متحرک اثر می گذارد که حرکت همواره به سمت مرکز دایره گرایش داشته باشد.

توپی از قسمت بلندتر یک مسیر رها می شود. چون انرژی تبدیل می شود، توپ حول حلقه چرخش می کند و از از طرف دیگر مسیر (طرف کوتاه تر) به خارج مسیر می رود