نکته: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{a}^{n}}\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,{{b}^{n}}  \\ ac\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bc  \\ a\pm c\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\pm c  \\ \end{matrix} \right.$      $(n\in \mathbb{N},c\in \mathbb{Z})$

باید داشته باشیم: ${{7}^{16}}+a\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,0$

${{7}^{3}}=343\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,-1\xrightarrow{\operatorname{ta}van5}{{7}^{15}}\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,-1\xrightarrow{\times 7}{{7}^{16}}\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,-7\Rightarrow {{7}^{16}}\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,-7\Rightarrow {{7}^{16}}+a\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,-7+a\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow a\overset{43}{\mathop{\equiv }}\,7\Rightarrow a=43k+7$

به‌ازای $k=3$، كوچک‌ترين عدد سه‌رقمی $a$ به‌دست می‌آيد كه برابر است با: ${{a}_{\min }}=129+7=136$

مجموع ارقام اين عدد برابر است با: $1+3+6=10$