•بسته 1 ••آنالیز ترکیبی مقدماتی: مهره‌ای بر روی مبدأ صفحه‌ی مختصات قرار دارد. در هر حرکت میتوانیم مهره را از نقطه‌ی (y, x) به نقطه‌ی (x+1, y+1) یا به نقطه‌ی (x, y-1) ببریم. به چند طریق می‌توانیم این مهره را به نقطه‌ی (4, 0) ببریم؟

نظریه اعداد-مرحله اول: اگر n عددی طبیعی و مخالف یک باشد، ثابت کنید که $ n^n-n^2+n-1 $ بر $ (n-1)^2 $ بخش‌پذیر است.

نظریه اعداد-مرحله اول: زیر مجموعه 100 عضوی از مجموعه‌ی اعداد طبیعی وجود دارد به طوری که ب.م.م هر دو عضو آن مخالف یک و ب.م.م هر سه عضو آن برابر یک است.

نظریه اعداد-مرحله اول: همه‌ی اعداد اول مانند p و q را بیابید بطوریکه $ p^2+3pq+q^2=5^t $.

نظریه اعداد-مرحله اول: اگر n بزرگتر از یک باشد، ثابت کنید که $ n!+2, n!+3,..., n!+n $ $n-1 $ عدد متوالی مرکب‌اند.

نظریه اعداد-مرحله اول: ثابت کنید، اگر a و b اعدادی طبیعی و بزرگ‌تر از یک باشند و $ a^4+b^4|a^6+b^6 $، آنگاه$ a^4+b^4 $ مرکب است.

نظریه اعداد-مرحله اول: همه‌ی اعداد طبیعی مانند m و n را بیابید بطوریکه $ 1/m+1/n-1/{m^2n}=3/4 $ .

نظریه اعداد-مرحله اول: فرض کنید حاصل $ 1+2+...+n $ عددی سه رقمی باشد که رقم‌های آن مساوی‌اند. آن عدد سه رقمی را بیابید.

نظریه اعداد-مرحله اول: اگر $ n+6|n^3-n^2+1 $ ، n را بیابید.

نظریه اعداد-مرحله اول: ثابت کنید $2^{60}-1 $ بر 315 بخش‌پذیر است.

نظریه اعداد-مرحله اول: ثابت کنید که نمی‌توان علامت های $ + و - $ را طوری بین اعداد $ 1،2،... و 100 $ قرار داد که حاصل برابر 123 شود.

جبر-مرحله اول-بیست و پنجمین دوره: معادله $ sin^2(24x)+sin^2(32x)=0 $ در بازه $ [0, π] $ چند جواب دارد؟

جبر-مرحله اول-شوروی،1962: اگر$ x, yوz $ اعداد صحیح و متمایز از یکدیگر باشند، نشان دهید: $ (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5 $ بر $ 5(x-y)(y-z)(z-x) $ بخش‌پذیر است.

جبر-بیست و دومین دوره مقدماتی: تعداد جواب‌های حقیقی معادله‌ی $ (2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3 $ چندتاست؟

جبر، مرحله اول، بیست و دومین دوره: معادله‌ی زیر چند جواب حقیقی دارد؟ $ (x+1)^{1383}+(x+2)^{1382}(x-2)+(x+1)^{1381}(x-2)^2+...+(x+1)(x-2)^{1382}+(x-2)^{1383}=0 $

جبر، مرحله اول، بلغارستان، 2000: در بسط عبارت $ )a+b+c)(d-e+f)(g+h-k)(l-m-n)(p+q) $ ضریب چند جمله مثبت است؟

جبر، مرحله اول المپیاد، لنینگراد، 1988: فرض کنید $ a+b+c=a^{-1}+b^{-1}+c^{-1} $ و abc=1 باشد. ثابت کنید حداقل یکی از اعداد b، a یا c برابر واحد است.

جبر-مرحله اول المپیاد-امریکا، 1986: اگر عبارت جبری $ 1-x+x^2-x^3+...-x^{17} $ را بتوان به صورت $ a0+a1y+a2y^2+...+a17y^{17} $ نوشت که در آن 1+x=y است و ai ها (17,...,0,1=i) اعدادی ثابت‌اند، a2 را بیابید.

جبر-مرحله اول المپیاد- کره،2000: معادله‌ی زیر را در مجموعه اعداد حقیقی حل کنید. $2^x+3^x-4^x+6^x-9^x=1 $

آنالیز ترکیبی-مرحله اول: به چند طریق می‌توان مجموعه‌ی {1361,...,1,2} را به سه زیرمجموعه‌ی ناتهی افراز کرد به طوری که در هیچ یک دو عدد متوالی وجود نداشته باشد؟