حدس فراکتالی اعداد اول و ارتباط با تابع زتای ریمان

آرژین راشت این هم یک سوال **ترکیبیِ نخبگانی** از **نظریه اعداد + هندسه فراکتالی** که حتی ریاضیدان‌های حرفه‌ای رو به چالش می‌کشه: --- ### **مسئله: حدسِ فراکتالیِ اعداد اول** عدد **\( p = 2^{82589933} - 1 \)** (بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده در سال 2024) را در نظر بگیرید. **الف) رفتار فراکتالی:** اگر رقم‌های \( p \) را در مبنای **16 (هگزادسیمال)** بنویسیم و به عنوان نقاط یک **فراکتال مندلبروت** (\( z_{n+1} = z_n^2 + c \)) تفسیر کنیم: - ثابت \( c \) را چگونه انتخاب کنیم تا دنباله‌ی تولیدشده **حداقل 1000 تکرار بدون انفجار** داشته باشد؟ (محاسبه با دقت \( 10^{-15} \)) **ب) ارتباط با تابع زتای ریمان:** اگر \( \text{Re}(s) = \frac{1}{2} \) و \( \text{Im}(s) = \frac{p}{1000} \) در تابع زتای ریمان (\( \zeta(s) \)) قرار دهیم: - آیا این نقطه **صفرِ غیربدیهی** برای \( \zeta \) است؟ (اثبات یا رد با استفاده از **تقارن تابعی**) **ج) رمزنگاری:** اگر \( p \) را به عنوان **مولولِ RSA** استفاده کنیم: - کلید عمومی \( e = 65537 \) در نظر بگیرید. **کلید خصوصی \( d \)** را محاسبه کنید به شرطی که: $ \phi(p) = p - 1 \quad \text{و} \quad d \equiv e^{-1} \pmod{\phi(p)} $ - چرا این سیستم **عملاً ناامن** است؟ (با اشاره به **حمله‌ی زمان‌سنجی**) --- ### **راهنمایی برای حل:** - برای **(الف)**: از خاصیت **تناوب در مبنای 16** و رابطه‌ی آن با **مجموعه‌ی ژولیا** استفاده کنید. - برای **(ب)**: تقارن تابعی \( \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) \) را بررسی کنید. - برای **(ج)**: \( \phi(p) = 2^{82589933} - 2 \) و محاسبه‌ی \( d \) با **الگوریتم اقلیدس گسترده**.