[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-13471":3,"categoryMenus":28,"$f6t8uykkq2iw2":221},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":17,"status":18,"views":19,"subdate":20,"up_date":21,"first_name":22,"last_name":23,"avatar":12,"title_url":24,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},13471,67,1170,1171,4926,"رسم نمودار تابع درجهٔ سوم",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGmdeRqgsWWz44dbC55Wq_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"رسم نمودار تابع درجه سوم؛ گام‌به‌گام از ریشه تا نقطه عطف\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">رسم نمودار تابع درجه سوم: بررسی ریشه‌ها، مشتق اول، مشتق دوم، اکسترمم‌ها، نقطهٔ عطف و رفتار انتهایی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">راهنمای گام‌به‌گام برای تحلیل کامل توابع درجه سوم و رسم دقیق نمودار آنها بدون استفاده از نرم‌افزار\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">این مقاله روشی ساختاریافته برای ترسیم نمودار هر تابع درجه سوم مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$\u003C\u002Fspan> ارائه می‌دهد. با استفاده از یافتن ریشه‌ها، محاسبه مشتق اول و دوم، تعیین نقاط بحرانی (اکسترمم‌های نسبی)، نقطه عطف، و تحلیل رفتار انتهایی تابع، می‌توان نموداری دقیق و خوانا رسم کرد. این روش پایهٔ محکمی برای درک توابع چندجمله‌ای و کاربردهای آن در مسائل بهینه‌سازی و مدلسازی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. ساختار کلی تابع درجه سوم و ریشه‌یابی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع درجه سوم به شکل کلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$\u003C\u002Fspan> تعریف می‌شود که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a \\neq 0$\u003C\u002Fspan> است. ضریب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> علامت رفتار انتهایی و جهت کلی نمودار را تعیین می‌کند. ریشه‌ها یا صفرهای تابع، مقادیری از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> هستند که در آنها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=0$\u003C\u002Fspan> است. یک تابع درجه سوم همواره حداقل یک ریشه حقیقی دارد زیرا نمودار آن از منفی بی‌نهایت به مثبت بی‌نهایت (یا برعکس) ادامه می‌یابد و محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> را در یک نقطه قطع می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای یافتن ریشه‌ها چند روش وجود دارد: آزمون ریشه‌های گویا (قضیه ریشه گویا\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>)، فاکتورگیری، یا تقسیم ترکیبی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>. به عنوان مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. با آزمون مقسوم‌عبارت‌های عدد ثابت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\pm1,\\pm2,\\pm3,\\pm6$\u003C\u002Fspan>) می‌توان دریافت که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> یک ریشه است. با تقسیم ترکیبی، تابع به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-1)(x^2-5x+6)$\u003C\u002Fspan> تجزیه می‌شود و سپس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$\u003C\u002Fspan>. بنابراین ریشه‌ها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1,2,3$\u003C\u002Fspan> هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> اگر تابع درجه سوم سه ریشه حقیقی متمایز داشته باشد، نمودار محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> را در سه نقطه قطع می‌کند. در صورت وجود یک ریشه مضاعف، نمودار در آن نقطه مماس می‌شود. اگر فقط یک ریشه حقیقی باشد، دو ریشه دیگر مختلط و مزدوج هستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. مشتق اول و نقاط اکسترمم نسبی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مشتق اول تابع یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=3ax^2+2bx+c$\u003C\u002Fspan> که یک عبارت درجه دوم است. با حل معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=0$\u003C\u002Fspan> نقاط بحرانی (جایی که شیب نمودار صفر می‌شود) به دست می‌آید. مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta = (2b)^2-4(3a)(c)=4b^2-12ac$\u003C\u002Fspan> تعیین می‌کند که چند نقطه بحرانی داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه حالات دلتا در مشتق اول\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرح دلتا\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد نقاط بحرانی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع اکسترمم‌ها\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دو نقطه بحرانی متمایز\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک ماکزیمم نسبی و یک مینیمم نسبی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک نقطه بحرانی (مضاعف)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نقطه عطف با شیب افقی (نه اکسترمم)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">بدون نقطه بحرانی حقیقی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تابع اکیداً صعودی یا نزولی است\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای تعیین اینکه هر نقطه بحرانی ماکزیمم است یا مینیمم، از آزمون مشتق دوم یا بررسی تغییر علامت مشتق اول در اطراف آن نقطه استفاده می‌شود. به عنوان مثال برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3-3x^2+2$\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$\u003C\u002Fspan>. نقاط بحرانی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> هستند. با آزمون مشتق دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(f''(x)=6x-6)$\u003C\u002Fspan>: در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(0)=-6\\lt 0$\u003C\u002Fspan> پس ماکزیمم نسبی با مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(0)=2$\u003C\u002Fspan> و در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(2)=6\\gt 0$\u003C\u002Fspan> پس مینیمم نسبی با مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(2)=-2$\u003C\u002Fspan> داریم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. مشتق دوم و نقطه عطف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>مشتق دوم تابع درجه سوم یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=6ax+2b$\u003C\u002Fspan> که یک خط راست است. نقطه عطف جایی است که تغیّر تحدب\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> رخ می‌دهد. برای پیدا کردن آن کافی است معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=0$\u003C\u002Fspan> را حل کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$6ax+2b=0 \\quad\\Rightarrow\\quad x=-\\frac{2b}{6a}=-\\frac{b}{3a}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>نقطه عطف همواره برای هر تابع درجه سوم وجود دارد و دقیقاً یک نقطه است. در این نقطه، نمودار از حالت «کاو به بالا» محدب\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> به «کاو به پایین» مقعر\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> تغییر می‌کند (یا برعکس). جالب است بدانید که نقطه عطف، میانگین دو نقطه اکسترمم (در صورت وجود) نیز هست. در مثال قبلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=x^3-3x^2+2$\u003C\u002Fspan>، نقطه عطف در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-\\frac{-3}{3\\times1}=1$\u003C\u002Fspan> قرار دارد که دقیقاً بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای تشخیص نوع تحدب در هر ناحیه، علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> را بررسی می‌کنیم. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x) \\gt 0$\u003C\u002Fspan>، نمودار کاو به بالا (محدب) است و اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x) \\lt 0$\u003C\u002Fspan>، نمودار کاو به پایین (مقعر) است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. رفتار انتهایی (حدود در بی‌نهایت)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>رفتار انتهایی تابع توسط جمله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ax^3$\u003C\u002Fspan> تعیین می‌شود. دو حالت اساسی وجود دارد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"رفتار انتهایی تابع درجه سوم\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\to +\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\to -\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">مثبت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a>0$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">منفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a\\lt 0$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. مثال گام‌به‌گام و کاربرد عملی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم نمودار تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=2x^3-9x^2+12x-5$\u003C\u002Fspan> را رسم کنیم. گام‌های زیر را به ترتیب انجام می‌دهیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۱ - ریشه‌ها:\u003C\u002Fstrong> با آزمون ریشه‌های گویا، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> یک ریشه است: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(1)=2-9+12-5=0$\u003C\u002Fspan>. پس از تقسیم ترکیبی، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=(x-1)(2x^2-7x+5)=(x-1)(x-1)(2x-5)=(x-1)^2(2x-5)$\u003C\u002Fspan>. ریشه‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> (مضاعف) و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2.5$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۲ - مشتق اول:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)$\u003C\u002Fspan>. نقاط بحرانی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۳ - تعیین نوع اکسترمم‌ها:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=12x-18$\u003C\u002Fspan>. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(1)=-6\\lt0$\u003C\u002Fspan> → ماکزیمم نسبی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(1)=0$\u003C\u002Fspan>. در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(2)=6\\gt0$\u003C\u002Fspan> → مینیمم نسبی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(2)=16-36+24-5=-1$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۴ - نقطه عطف:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=0 \\Rightarrow 12x-18=0 \\Rightarrow x=1.5$\u003C\u002Fspan>. مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(1.5)=2(3.375)-9(2.25)+18-5=6.75-20.25+13=-0.5$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۵ - رفتار انتهایی:\u003C\u002Fstrong> چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a=2\\gt0$\u003C\u002Fspan>، برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to+\\infty$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)\\to+\\infty$\u003C\u002Fspan> و برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to-\\infty$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)\\to-\\infty$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>اکنون می‌توانیم نمودار را رسم کنیم: از چپ و پایین شروع می‌شود، تا نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1,0)$\u003C\u002Fspan> (ماکزیمم) افزایش، سپس تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(2,-1)$\u003C\u002Fspan> (مینیمم) کاهش، و دوباره افزایش می‌یابد. نقطه عطف در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(1.5,-0.5)$\u003C\u002Fspan> باعث تغییر تحدب می‌شود. ریشه مضاعف در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهد نمودار در آن نقطه مماس بر محور \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>کاربرد این روش در بهینه‌سازی اقتصادی است: فرض کنید سود یک شرکت با تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$P(x)=-x^3+6x^2-9x+4$\u003C\u002Fspan> مدل شود. با تحلیل مشتق اول می‌توان سقف و کف سود را یافت و با نقطه عطف مشخص کرد که رشد سود در چه بازه‌ای شتاب می‌گیرد یا کاهش می‌یابد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا هر تابع درجه سه دقیقاً یک نقطه عطف دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، زیرا مشتق دوم یک تابع درجه سوم، تابع خطی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)=6ax+2b$\u003C\u002Fspan> است که همواره یک ریشه حقیقی دارد. این ریشه همان نقطه عطف است و تغییر تحدب در آن قطعی است. برخلاف توابع درجه چهارم که می‌توانند صفر، یک یا دو نقطه عطف داشته باشند، توابع درجه سوم دقیقاً یک نقطه عطف دارند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر مشتق اول تابع درجه سوم دو نقطه بحرانی داشته باشد، آیا حتماً یکی ماکزیمم و دیگری مینیمم است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>بله، از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)$\u003C\u002Fspan> خطی است و فقط یک صفر دارد، در یک سمت این صفر علامت مثبت و در سمت دیگر منفی خواهد بود. در نتیجه اگر دو نقطه بحرانی داشته باشیم، یکی در ناحیه‌ای با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''\\gt0$\u003C\u002Fspan> (مینیمم) و دیگری در ناحیه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''\\lt0$\u003C\u002Fspan> (ماکزیمم) قرار می‌گیرد. ترتیب آنها به علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> بستگی دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>پرسش ۳: چگونه می‌توان بدون محاسبه مشتق، تعداد ریشه‌های حقیقی یک تابع درجه سوم را پیش‌بینی کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>با استفاده از مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$\u003C\u002Fspan> که موسوم به ممیز تابع درجه سوم است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta \\gt 0$\u003C\u002Fspan>، سه ریشه حقیقی متمایز؛ اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta = 0$\u003C\u002Fspan>، ریشه‌های تکراری (حداقل یک ریشه مضاعف)؛ و اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\Delta \\lt 0$\u003C\u002Fspan>، یک ریشه حقیقی و دو ریشه مختلط داریم. برای تابع نمونه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^3-6x^2+11x-6$\u003C\u002Fspan> ممیز برابر صفر است (سه ریشه متمایز نیستند)؟ خیر، طبق محاسبه دقیق ممیز مثبت می‌شود که با سه ریشه متمایز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1,2,3$\u003C\u002Fspan> هماهنگ است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">برای رسم نمودار هر تابع درجه سوم، مراحل زیر ضروری است: (۱) یافتن ریشه‌ها (حداقل یک ریشه حقیقی) و در صورت امکان تجزیه به عوامل خطی، (۲) محاسبه مشتق اول برای یافتن نقاط بحرانی و تعیین اکسترمم‌های نسبی (ماکزیمم و مینیمم)، (۳) محاسبه مشتق دوم برای یافتن نقطه عطف و تشخیص نواحی تحدب و تقعر، (۴) تحلیل رفتار انتهایی بر اساس علامت ضریب بزرگترین درجه. ترکیب این اطلاعات به همراه مقادیر تابع در نقاط کلیدی، نموداری دقیق و قابل اعتماد ارائه می‌دهد که نه تنها برای حل مسائل ریاضی، بلکه در علوم تجربی و اقتصاد کاربرد دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 0\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> ریشه گویا (Rational Root): به ریشه‌ای از یک چندجمله‌ای که به صورت کسری از مقسوم‌عبارت‌های جمله ثابت بر مقسوم‌عبارت‌های ضریب بزرگترین درجه قابل نوشتن باشد، گفته می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> تقسیم ترکیبی (Synthetic Division): روشی سریع برای تقسیم یک چندجمله‌ای بر دوجمله‌ای به شکل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x-k$\u003C\u002Fspan> که فقط شامل ضرایب است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تحدب (Concavity): ویژگی یک تابع که در آن نمودار بالا یا پایین خط مماس قرار می‌گیرد. تحدب به بالا معادل کاو به پایین و تحدب به پایین معادل کاو به بالا در برخی منابع است. در این مقاله، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f''(x)\\gt0$\u003C\u002Fspan> نشان‌دهنده «کاو به بالا» (محدب) است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> محدب (Convex): ناحیه‌ای از نمودار که مانند کاسه رو به بالا است و مشتق دوم در آن مثبت می‌باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> مقعر (Concave): ناحیه‌ای از نمودار که مانند کاسه رو به پایین است و مشتق دوم در آن منفی می‌باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,9],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,1,1016,"2026-05-13 13:10:57","2026-09-09 23:35:04","سحر","شیرزاد","رسم-نمودار-تابع-درجه-سوم","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F23","23:35 1405\u002F06\u002F18",{"status":18,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":18,"title":31,"list_order":18,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":18,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":18,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":18,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211,215],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":216,"link":217,"type":218,"slug":219,"title":220},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"tests":222,"papers":223,"files":224,"questions":225,"exams":226,"tutorials":227,"blogs":228},[],[],[],[],[],[],[229,238,246,254,262,270,278,286,294,302,310,318],{"id":230,"title":231,"cat":10,"pic":232,"up_date":233,"title_url":234,"url":235,"legacy_url":236,"cat_title":25,"update_jalali":237},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":239,"title":240,"cat":10,"pic":241,"up_date":242,"title_url":243,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":25,"update_jalali":237},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":247,"title":248,"cat":10,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":25,"update_jalali":237},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":255,"title":256,"cat":10,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":25,"update_jalali":237},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":263,"title":264,"cat":10,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":25,"update_jalali":237},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":271,"title":272,"cat":10,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":25,"update_jalali":237},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":279,"title":280,"cat":10,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":25,"update_jalali":237},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":287,"title":288,"cat":10,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":25,"update_jalali":237},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":295,"title":296,"cat":10,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":25,"update_jalali":237},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":303,"title":304,"cat":10,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":25,"update_jalali":237},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":311,"title":312,"cat":10,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":25,"update_jalali":237},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":319,"title":320,"cat":10,"pic":321,"up_date":322,"title_url":323,"url":324,"legacy_url":325,"cat_title":25,"update_jalali":237},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]