[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13384":199,"$f18zu66h1toan1":222},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":212,"status":4,"views":213,"subdate":214,"up_date":215,"first_name":216,"last_name":217,"avatar":13,"title_url":218,"cat_title":219,"subdate_jalali":220,"update_jalali":221},13384,1170,1171,4926,"نقطهٔ اتصال تابع چندضابطه‌ای: نقطه‌ای که ضابطهٔ تابع در دو طرف آن تغییر می‌کند و پیوستگی و مشتق‌پذیری در آن باید جداگانه بررسی شود.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FkLdw9rhDbMwLi16jeslr_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"نقطه اتصال تابع چندضابطه‌ای\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">بررسی نقطهٔ اتصال در توابع چندضابطه‌ای: پیوستگی و مشتق‌پذیری\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">نقاط مرزی که ضابطه تغییر می‌کند: مفاهیم، روش تحلیل، مثال‌های گام‌به‌گام و چالش‌های رایج\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در توابع چندضابطه‌ای\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، نقطه‌ای که ضابطهٔ تابع در دو طرف آن تغییر می‌کند، نیازمند بررسی جداگانهٔ پیوستگی\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> و مشتق‌پذیری\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> است. در این مقاله می‌آموزید که چگونه با استفاده از حدود چپ و راست، مقدار تابع و مشتق چپ و راست، رفتار تابع را در این نقاط تحلیل کنید. مفاهیم «پیوستگی»، «ناپیوستگی جهشی» و «مشتق‌پذیری با مشتقات یک‌سویه» به زبانی ساده و همراه با مثال‌های متنوع توضیح داده شده‌اند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">نقطهٔ اتصال چیست و چرا اهمیت دارد؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع چندضابطه‌ای تابعی است که روی بازه‌های مختلف، ضابطه (فرمول) متفاوتی دارد. نقطه‌ای که دو ضابطه به هم می‌رسند، «نقطهٔ اتصال» نامیده می‌شود. برای نمونه، تابع زیر را در نظر بگیرید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = \\begin{cases} x^2 & x \\lt 1 \\\\ 2x - 1 & x \\ge 1 \\end{cases} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در اینجا نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan> نقطهٔ اتصال است، زیرا ضابطهٔ چپ (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2$\u003C\u002Fspan>) با ضابطهٔ راست (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x-1$\u003C\u002Fspan>) متفاوت است. در چنین نقطه‌ای نمی‌توان مستقیماً از قواعد معمول پیوستگی یا مشتق‌گیری استفاده کرد؛ باید سه ویژگی را جداگانه و با استفاده از حدود یک‌سویه بررسی کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Col style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>وجود مقدار تابع در آن نقطه (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan> مشخص باشد)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>وجود حد چپ تابع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^-} f(x)$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>وجود حد راست تابع (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^+} f(x)$\u003C\u002Fspan>) و برابری این دو حد با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(a)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Fol>\r\n\r\n\u003Cp>برای مشتق‌پذیری نیز باید مشتق چپ و راست را محاسبه کرده و با هم برابر باشند. بیایید با یک مثال کامل این فرآیند را گام به گام پیش ببریم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تحلیل گام‌به‌گام پیوستگی و مشتق‌پذیری در نقطهٔ اتصال\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال کامل:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ g(x) = \\begin{cases} x + 2 & x \\le 0 \\\\ -x + 2 & x \\gt 0 \\end{cases} $\u003C\u002Fspan> را در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan> بررسی کنید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۱ – بررسی مقدار تابع:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاز آنجا که در ضابطهٔ اول، شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\le 0$\u003C\u002Fspan> است، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(0)=0+2=2$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۲ – محاسبهٔ حد چپ:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nهنگامی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> از چپ به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شود (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\to 0^-$\u003C\u002Fspan>)، از ضابطهٔ اول استفاده می‌کنیم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to 0^-} g(x) = \\lim_{x \\to 0^-} (x+2) = 0+2 = 2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۳ – محاسبهٔ حد راست:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nهنگامی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> از راست به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شود (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x \\to 0^+$\u003C\u002Fspan>)، از ضابطهٔ دوم استفاده می‌کنیم:\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to 0^+} g(x) = \\lim_{x \\to 0^+} (-x+2) = -0+2 = 2 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۴ – نتیجهٔ پیوستگی:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nاز آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(0)=\\lim_{x \\to 0^-}g(x)=\\lim_{x \\to 0^+}g(x)=2$\u003C\u002Fspan>، تابع در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>پیوسته\u003C\u002Fstrong> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مرحله ۵ – مشتق چپ و راست:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nمشتق چپ: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g'_-(0) = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{(x+2)-2}{x} = \\lim_{x \\to 0^-} \\frac{x}{x}=1 $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nمشتق راست: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g'_+(0) = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{(-x+2)-2}{x} = \\lim_{x \\to 0^+} \\frac{-x}{x}=-1 $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>از آنجا که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g'_-(0) \\ne g'_+(0)$\u003C\u002Fspan> (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1 \\ne -1$\u003C\u002Fspan>)، تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong>مشتق‌پذیر نیست\u003C\u002Fstrong>، هرچند پیوسته است. این نقطه یک «گوشه» در نمودار تابع ایجاد می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه انواع ناپیوستگی در نقاط اتصال\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نوع رفتار در نقطهٔ اتصال\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط پیوستگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط مشتق‌پذیری\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمونهٔ حالت\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پیوسته و مشتق‌پذیر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">برقرار\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق چپ = راست\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\le1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2x-1$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\gt1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">پیوسته اما مشتق‌ناپذیر (گوشه)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">برقرار\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مشتق چپ ≠ راست\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$|x|$\u003C\u002Fspan> در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ناپیوسته جهشی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">حد چپ ≠ حد راست (یا حد ≠ مقدار)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">به طور خودکار مشتق‌ناپذیر\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\le0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x+2$\u003C\u002Fspan> برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\gt0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تشخیص نوع نقطه در توابع تعریف شده با قطعات\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در مسائل فیزیک و اقتصاد، توابع چندضابطه‌ای برای مدل‌سازی پدیده‌هایی که رفتار ناگهانی تغییر می‌کنند، استفاده می‌شوند. برای نمونه، تابع هزینهٔ پست بر اساس وزن بسته، یا تابع مالیات بر درآمد. فرض کنید تابع زیر، هزینهٔ ارسال یک بسته (به هزار تومان) را بر حسب وزن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> (کیلوگرم) نشان می‌دهد:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ C(x) = \\begin{cases} 5 & 0 \\lt x \\le 1 \\\\ 5 + 2(x-1) & 1 \\lt x \\le 3 \\\\ 9 + 3(x-3) & x \\gt 3 \\end{cases} $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>در نقطهٔ اتصال \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>، باید بررسی کنیم که هزینه از چپ و راست چه تغییری می‌کند. اگر تابع در این نقطه ناپیوسته باشد، یعنی هزینه برای وزنی اندکی بیشتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> کیلوگرم یکباره پرش داشته باشد، این مدل نیاز به بازبینی دارد. در عمل، مدل‌سازی صحیح نیازمند پیوستگی در نقاط اتصال است تا از بروز پرش‌های غیرواقعی جلوگیری شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی رایج\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا ممکن است تابعی در نقطهٔ اتصال مشتق‌پذیر باشد اما پیوسته نباشد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. مشتق‌پذیری در یک نقطه همواره پیوستگی در آن نقطه را نتیجه می‌دهد. بنابراین اگر تابعی در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد، حتماً در آن نقطه پیوسته است. شرط پیوستگی برای مشتق‌پذیری لازم (اما ناکافی) است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۲:\u003C\u002Fstrong> اگر حد چپ و راست تابع در نقطهٔ اتصال مساوی باشند اما با مقدار تابع برابر نباشند، چه نوع ناپیوستگی داریم؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> این حالت «ناپیوستگی قابل رفع» نامیده می‌شود. با بازتعریف مقدار تابع در آن نقطه (مساوی حد) می‌توان تابع را پیوسته کرد. در توابع چندضابطه‌ای معمولاً با اصلاح ضابطه می‌توان این ناپیوستگی را برطرف کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>سوال ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا وجود مشتق چپ و راست جداگانه برای مشتق‌پذیری کافی است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> برای مشتق‌پذیری، نه تنها باید مشتق چپ و راست متناهی وجود داشته باشند، بلکه حتماً باید با یکدیگر برابر باشند. اگر این دو مقدار متفاوت باشند، تابع در آن نقطه دارای یک «گوشه» یا «نوک تیزی» است و مشتق‌پذیر نیست، مشابه تابع قدرمطلق در مبدأ.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">نقطهٔ اتصال در توابع چندضابطه‌ای، مرز تغییر ضابطه است و رفتار تابع در آن‌جا مستقل از سایر نقاط تعیین می‌شود. برای تحلیل پیوستگی باید حد چپ، حد راست و مقدار تابع را بررسی و مساوی بودن آنها را تأیید کرد. برای مشتق‌پذیری نیز پس از اطمینان از پیوستگی، مشتق چپ و راست را با استفاده از تعریف حدی مشتق محاسبه کرده و برابری آنها را شرط لازم و کافی می‌دانیم. عدم برابری مشتقات یک‌سویه منجر به تشکیل گوشه در نمودار و مشتق‌ناپذیری می‌شود، در حالی که ناپیوستگی جهشی نیز بلافاصله مشتق‌پذیری را از بین می‌برد. تسلط بر این مفاهیم پایه‌ای برای مطالعهٔ توابع در ریاضیات دبیرستان و کاربردهای آن در علوم دیگر ضروری است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع چندضابطه‌ای (Piecewise Function): تابعی که روی زیربازه‌های مختلف دامنه، با فرمول‌های متفاوت تعریف می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> پیوستگی (Continuity): تابع در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> پیوسته است اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> مشتق‌پذیری (Differentiability): تابع در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> مشتق‌پذیر است اگر حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{h \\to 0} \\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$\u003C\u002Fspan> وجود داشته و متناهی باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,211],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم","نقطهٔ اتصال تابع چندضابطه‌ای",0,170,"2026-05-12 02:28:20","2026-09-10 03:57:30","سحر","شیرزاد","نقطه-اتصال-تابع-چندضابطهای-نقطهای-که-ضابطه-تابع-در-دو-طرف-آن-تغییر-میکند-و-پیوستگی-و-مشتقپذیری-در-آن-باید-جداگانه-بررسی-شود","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F22","3:57 1405\u002F06\u002F19",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311,319],{"id":231,"title":232,"cat":205,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":219,"update_jalali":238},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":240,"title":241,"cat":205,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":219,"update_jalali":238},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":248,"title":249,"cat":205,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":219,"update_jalali":238},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":256,"title":257,"cat":205,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":219,"update_jalali":238},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":264,"title":265,"cat":205,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":219,"update_jalali":238},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":272,"title":273,"cat":205,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":219,"update_jalali":238},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":280,"title":281,"cat":205,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":219,"update_jalali":238},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":288,"title":289,"cat":205,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":219,"update_jalali":238},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":296,"title":297,"cat":205,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":219,"update_jalali":238},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":304,"title":305,"cat":205,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":219,"update_jalali":238},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":312,"title":313,"cat":205,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":219,"update_jalali":238},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":320,"title":321,"cat":205,"pic":322,"up_date":323,"title_url":324,"url":325,"legacy_url":326,"cat_title":219,"update_jalali":238},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]