[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-13321":3,"categoryMenus":28,"$fhzct2umzcytq":221},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":17,"status":18,"views":19,"subdate":20,"up_date":21,"first_name":22,"last_name":23,"avatar":12,"title_url":24,"cat_title":25,"subdate_jalali":26,"update_jalali":27},13321,67,1170,1171,4926,"قضیهٔ برابری حدهای یک‌طرفهٔ مثبت بی‌نهایت و منفی بی‌نهایت",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0uxKEmcKDoyxRlXnv1yw_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"قضیه برابری حدهای یک‌طرفه بی‌نهایت\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قضیهٔ برابری حدهای یک‌طرفهٔ مثبت و منفی بی‌نهایت\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی شرط لازم و کافی برای وجود حد نامحدود در تابع‌های رفتاری به سمت مجانب قائم\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان می‌دهیم که اگر هر دو حد یک‌طرفهٔ راست و چپ تابع در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> باشند، آنگاه حد دوطرفه در آن نقطه نیز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> خواهد بود. همین قاعده برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> نیز برقرار است. این قضیه، یکی از پایه‌های اصلی تحلیل مجانب قائم\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> و رفتار تابع در نزدیکی نقاط بحرانی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">تعریف حد یک‌طرفهٔ بی‌نهایت و مفهوم آن\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در ریاضیات دبیرستان، وقتی می‌گوییم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^+} f(x)=+\\infty$\u003C\u002Fspan>، یعنی هرچه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> از سمت راست به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> نزدیک شود، مقدار تابع به طور نامحدود بزرگ می‌گردد. به طور مشابه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a^-} f(x)=+\\infty$\u003C\u002Fspan> بیانگر نزدیکی از سمت چپ با رشد بی‌کران تابع است. این مفاهیم برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> نیز تعریف می‌شوند با این تفاوت که مقادیر تابع به سمت اعداد بسیار منفی میل می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{1}{(x-2)^2}$\u003C\u002Fspan> را در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a=2$\u003C\u002Fspan> در نظر بگیرید. از هر دو سمت راست و چپ، مخرج به سمت صفر مثبت می‌رود، بنابراین حاصل کسر به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> میل می‌کند. قاعدهٔ مورد بحث می‌گوید که حد دوطرفه نیز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> است و خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=2$\u003C\u002Fspan> یک مجانب قائم خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">شرط لازم و کافی برای حد دوطرفهٔ بی‌نهایت\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>قضیه اصلی به صورت زیر بیان می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a^+} f(x) = +\\infty \\quad \\text{و} \\quad \\lim_{x \\to a^-} f(x) = +\\infty \\quad \\Longrightarrow \\quad \\lim_{x \\to a} f(x) = +\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nو همچنین\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a^+} f(x) = -\\infty \\quad \\text{و} \\quad \\lim_{x \\to a^-} f(x) = -\\infty \\quad \\Longrightarrow \\quad \\lim_{x \\to a} f(x) = -\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>به عبارت ساده‌تر، اگر تابع از چپ و راست به یک نوع بی‌نهایت (هر دو مثبت یا هر دو منفی) گرایش داشته باشد، آنگاه حد دوطرفه وجود دارد و برابر همان بی‌نهایت است. این قضیه به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا بدون ترس از نقاط ناپیوستگی، رفتار مجانبی توابع گویا، مثلثاتی و توانی را تحلیل کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه حالت‌های مختلف حد یک‌طرفه\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حد راست\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حد چپ\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حد دوطرفه\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال تابع\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #dcfce7; border-radius: 999px; color: #166534; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$+\\infty$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$f(x)=\\frac{1}{x^2}$ در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"background: #fee2e2; border-radius: 999px; color: #991b1b; display: inline-block; font-size: 12px; line-height: 1; padding: 4px 8px; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$-\\infty$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$f(x)=-\\frac{1}{(x-1)^2}$ در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=1$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$+\\infty$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$-\\infty$\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">وجود ندارد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">$f(x)=\\frac{1}{x}$ در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">مثال جامع: بررسی تابع کسری با مجانب قائم\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)=\\frac{2}{(x-3)^4}+5$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. نقطهٔ مورد نظر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a=3$\u003C\u002Fspan> است. از آنجا که توان مخرج \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4$\u003C\u002Fspan> زوج است، عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-3)^4$\u003C\u002Fspan> برای هر دو سمت راست و چپ مثبت بوده و به سمت صفر میل می‌کند. بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x \\to 3^+} \\frac{2}{(x-3)^4}+5 = +\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x \\to 3^-} \\frac{2}{(x-3)^4}+5 = +\\infty$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>طبق قضیه، حد دوطرفه نیز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> است. یعنی خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=3$\u003C\u002Fspan> مجانبی قائم برای تابع است و تابع در نزدیکی این نقطه به سمت بالا منحرف می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>این مثال نشان می‌دهد که صرفاً وجود مخرج صفر شونده در یک نقطه، برای بی‌نهایت شدن حد کافی نیست؛ بلکه یکنواختی علامت از دو طرف شرط اصلی قضیه ماست. اگر توان فرد بود، حدها علامت‌های متفاوتی می‌داشتند و قضیه قابل اعمال نبود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی: تحلیل نمودار توابع بدون رسم دقیق\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید دانش‌آموزی می‌خواهد نمودار تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$h(x)=\\frac{-3}{(x+2)^2}+1$\u003C\u002Fspan> را بررسی کند. با توجه به توان زوج در مخرج، هر دو حد یک‌طرفه در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-2$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> هستند (چون صورت منفی ثابت است). بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>حد دوطرفه در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-2$\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>نمودار تابع از هر دو طرف به سمت پایین می‌رود و خط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=-2$\u003C\u002Fspan> مجانب قائم خواهد بود.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>با دانستن این مطلب، می‌توانیم بدون رسم دقیق، رفتار تابع را در اطراف نقطه بحرانی پیش‌بینی کنیم.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>در کلاس‌های درس، این قضیه به عنوان ابزاری سریع برای تعیین مجانب قائم تدریس می‌شود. معلمان معمولاً تأکید می‌کنند که اگر حدهای یک‌طرفه هردو بی‌نهایت با علامت یکسان باشند، خط عمودی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> قطعاً مجانب قائم است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> آیا ممکن است حد راست بی‌نهایت و حد چپ یک عدد حقیقی باشد، اما حد دوطرفه بی‌نهایت به دست آید؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. طبق قضیه، برای این که حد دوطرفه بی‌نهایت شود، لازم است هر دو حد یک‌طرفه بی‌نهایت با علامت یکسان باشند. اگر یکی بی‌نهایت و دیگری متناهی باشد، حد دوطرفه وجود ندارد (نوع ناپیوستگی پرش نامحدود).\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> چه تفاوتی بین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x \\to a} f(x)=+\\infty$\u003C\u002Fspan> و «حد وجود ندارد» وجود دارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در بسیاری از کتاب‌های دبیرستان، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> به عنوان حالت‌های خاص «حد موجود» در نظر گرفته می‌شوند، زیرا تابع رفتار مشخصی دارد. اما از دیدگاه دقیق‌تر، حد تنها در صورت میل به عدد حقیقی «موجود» است. در این مقاله مطابق با برنامه درسی دبیرستان، بی‌نهایت را نوعی حد پذیرفته‌شده در نظر می‌گیریم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا قضیه برای توابعی که در نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> تعریف نشده‌اند نیز کاربرد دارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> بله، دقیقاً همین توابع هدف اصلی قضیه هستند. حد در نقطه‌ای که تابع تعریف نشده (مانند توابع گویا) بررسی می‌شود. شرط برابری حدهای یک‌طرفه بی‌نهایت مستقل از مقدار تابع در خود نقطه است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان دادیم که برای تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f$\u003C\u002Fspan> در نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan>، اگر هر دو حد یک‌طرفهٔ راست و چپ برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> یا هر دو برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> باشند، آنگاه حد دوطرفه نیز همان بی‌نهایت است. این قضیه به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا بدون محاسبات پیچیده، مجانب‌های قائم را تشخیص دهند و رفتار توابع را در نقاط بحرانی پیش‌بینی کنند. با کمک مثال‌های عملی و جدول مقایسه، تفاوت این حالت با حالتی که حدهای یک‌طرفه علامت متفاوت دارند روشن شد. تسلط بر این مفهوم، پایه‌ریز درک عمیق‌تری از پیوستگی، مشتق‌پذیری و تحلیل مجانب‌ها در مقاطع بالاتر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجانب قائم (Vertical Asymptote): خط عمودی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x=a$\u003C\u002Fspan> است که نمودار تابع در نزدیکی آن به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> میل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> حد یک‌طرفه (One‑Sided Limit): مقدار حدی که تابع هنگام نزدیک شدن متغیر مستقل از سمت راست \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x \\to a^+)$\u003C\u002Fspan> یا چپ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x \\to a^-)$\u003C\u002Fspan> به نقطهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a$\u003C\u002Fspan> از خود نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,9],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,1,102,"2026-05-11 02:49:27","2026-09-10 11:17:09","سحر","شیرزاد","قضیه-برابری-حدهای-یکطرفه-مثبت-بینهایت-و-منفی-بینهایت","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F21","11:17 1405\u002F06\u002F19",{"status":18,"data":29},[30,69,129,147,167],{"id":18,"title":31,"list_order":18,"items":32},"آشنایی",[33,38,42,46,53,57,61,65],{"id":34,"link":35,"type":36,"slug":12,"title":37},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":39,"link":40,"type":36,"slug":12,"title":41},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":43,"link":44,"type":36,"slug":12,"title":45},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":47,"link":48,"type":49,"slug":50,"handler":51,"title":52},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":54,"link":55,"type":36,"slug":12,"title":56},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":58,"link":59,"type":36,"slug":12,"title":60},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":62,"link":63,"type":36,"slug":12,"title":64},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":66,"link":67,"type":36,"slug":12,"title":68},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":70,"title":71,"list_order":18,"items":72},2,"المپیادها",[73,77,81,85,89,93,97,101,105,109,113,117,121,125],{"id":74,"link":75,"type":36,"slug":12,"title":76},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":78,"link":79,"type":36,"slug":12,"title":80},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":82,"link":83,"type":36,"slug":12,"title":84},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":86,"link":87,"type":36,"slug":12,"title":88},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":90,"link":91,"type":36,"slug":12,"title":92},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":94,"link":95,"type":36,"slug":12,"title":96},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":98,"link":99,"type":36,"slug":12,"title":100},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":102,"link":103,"type":36,"slug":12,"title":104},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":106,"link":107,"type":36,"slug":12,"title":108},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":110,"link":111,"type":36,"slug":12,"title":112},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":114,"link":115,"type":36,"slug":12,"title":116},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":118,"link":119,"type":36,"slug":12,"title":120},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":122,"link":123,"type":36,"slug":12,"title":124},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":126,"link":127,"type":36,"slug":12,"title":128},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":130,"title":131,"list_order":18,"items":132},3,"نمونه و تیزهوشان",[133,137,142],{"id":134,"link":135,"type":36,"slug":12,"title":136},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":138,"link":139,"type":49,"slug":140,"handler":140,"title":141},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":143,"link":144,"type":49,"slug":145,"handler":145,"title":146},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":148,"title":149,"list_order":18,"items":150},7,"کتابهای درسی",[151,155,159,163],{"id":152,"link":153,"type":36,"slug":12,"title":154},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":156,"link":157,"type":36,"slug":12,"title":158},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":160,"link":161,"type":36,"slug":12,"title":162},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":164,"link":165,"type":36,"slug":12,"title":166},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":34,"title":168,"list_order":34,"items":169},"پیشنهاد ویژه",[170,175,180,185,190,195,200,203,207,211,215],{"id":171,"link":172,"type":49,"slug":173,"handler":173,"title":174},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":176,"link":177,"type":49,"slug":178,"handler":178,"title":179},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":181,"link":182,"type":49,"slug":183,"handler":183,"title":184},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":186,"link":187,"type":49,"slug":188,"handler":188,"title":189},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":191,"link":192,"type":49,"slug":193,"handler":193,"title":194},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":196,"link":197,"type":36,"slug":198,"title":199},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":201,"type":36,"slug":12,"title":202},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":204,"link":205,"type":36,"slug":12,"title":206},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":208,"link":209,"type":36,"slug":12,"title":210},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":212,"link":213,"type":36,"slug":12,"title":214},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":216,"link":217,"type":218,"slug":219,"title":220},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"tests":222,"papers":223,"files":224,"questions":225,"exams":226,"tutorials":227,"blogs":228},[],[],[],[],[],[],[229,238,246,254,262,270,278,286,294,302,310,318],{"id":230,"title":231,"cat":10,"pic":232,"up_date":233,"title_url":234,"url":235,"legacy_url":236,"cat_title":25,"update_jalali":237},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":239,"title":240,"cat":10,"pic":241,"up_date":242,"title_url":243,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":25,"update_jalali":237},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":247,"title":248,"cat":10,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":25,"update_jalali":237},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":255,"title":256,"cat":10,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":25,"update_jalali":237},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":263,"title":264,"cat":10,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":25,"update_jalali":237},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":271,"title":272,"cat":10,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":25,"update_jalali":237},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":279,"title":280,"cat":10,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":25,"update_jalali":237},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":287,"title":288,"cat":10,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":25,"update_jalali":237},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":295,"title":296,"cat":10,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":25,"update_jalali":237},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":303,"title":304,"cat":10,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":25,"update_jalali":237},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":311,"title":312,"cat":10,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":25,"update_jalali":237},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":319,"title":320,"cat":10,"pic":321,"up_date":322,"title_url":323,"url":324,"legacy_url":325,"cat_title":25,"update_jalali":237},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]