[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13309":199,"$f2ld8gb85ku9jg":221},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":211,"status":4,"views":212,"subdate":213,"up_date":214,"first_name":215,"last_name":216,"avatar":13,"title_url":217,"cat_title":218,"subdate_jalali":219,"update_jalali":220},13309,1170,1171,4926,"قوانین جمع، تفریق، ضرب و تقسیم حدها در مثبت بی‌نهایت و منفی بی‌نهایت",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuMu3512L6mLNC5P0dT38_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"قوانین جمع، تفریق، ضرب و تقسیم حدها در بینهایت\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قوانین جمع، تفریق، ضرب و تقسیم حدها در مثبت بی‌نهایت و منفی بی‌نهایت\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">آشنایی با قوانین اساسی حد توابع در بی‌نهایت: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به همراه مثال‌های گام‌به‌گام برای دانش‌آموزان دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله می‌آموزیم که اگر حد دو تابع در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> موجود و برابر اعداد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2$\u003C\u002Fspan> باشند، آنگاه حد جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها به‌ترتیب برابر با مجموع، تفاضل، حاصل‌ضرب و خارج قسمت آن حدها است (با شرط مخالف بودن مخرج از صفر). این قوانین که با نام «قضایای حد» یا «قوانین حد» شناخته می‌شوند، پایه‌ و اساس محاسبه حد توابع پیچیده در رفتارهای نهایت هستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. تعریف حد در بی‌نهایت و قوانین پایه\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>هنگامی که متغیر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> (بزرگتر و بزرگتر شدن) یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> (کوچکتر و کوچکتر شدن) حرکت می‌کند، ممکن است مقدار تابع به یک عدد حقیقی مشخص نزدیک شود. به این عدد، «حد تابع در بی‌نهایت» می‌گوییم. برای مثال تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{1}{x}$\u003C\u002Fspan> وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to +\\infty$\u003C\u002Fspan> شود، به عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌گردد. اما همه توابع در بی‌نهایت حد متناهی ندارند؛ برخی به سمت بی‌نهایت می‌روند یا نوسان می‌کنند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x)=L_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x\\to +\\infty} g(x)=L_2$\u003C\u002Fspan>. در این صورت:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} [f(x) \\pm g(x)] = L_1 \\pm L_2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} [f(x) \\cdot g(x)] = L_1 \\cdot L_2$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\frac{L_1}{L_2}$\u003C\u002Fspan> به شرطی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2 \\neq 0$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>این قوانین برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to -\\infty$\u003C\u002Fspan> نیز کاملاً برقرار است. همچنین اگر هر کدام از حدها برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan> باشند، قضایای خاصی با احتیاط به کار می‌روند (موارد نامعین).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. اثبات شهری و مثال‌های گام‌به‌گام برای جمع و تفریق\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید دو تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)$\u003C\u002Fspan> به ترتیب به اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شوند. وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> بسیار بزرگ می‌شود، مجموع آنها به مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1+L_2$\u003C\u002Fspan> نزدیک خواهد بود. این اصل شبیه به جمع اعداد معمولی است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید در یک کارخانه، هزینه تولید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> واحد محصول از تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=100+\\frac{500}{x}$\u003C\u002Fspan> و درآمد حاصل از فروش از تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)=200-\\frac{200}{x}$\u003C\u002Fspan> (هزار تومان) پیروی کند. با افزایش تولید (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to +\\infty$\u003C\u002Fspan>)، هزینه به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$100$\u003C\u002Fspan> و درآمد به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$200$\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شود. بنابراین سود (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g-f$\u003C\u002Fspan>) به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$200-100=100$\u003C\u002Fspan> هزار تومان نزدیک می‌گردد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای محاسبه گام به گام:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> تعیین حد هر تابع:\u003Cbr>\r\n \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x) = \\lim_{x\\to +\\infty} (100+\\frac{500}{x}) = 100+0 = 100$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} g(x) = \\lim_{x\\to +\\infty} (200-\\frac{200}{x}) = 200-0 = 200$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> با استفاده از قانون جمع\u002Fتفریق:\u003Cbr>\r\n \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} [g(x)-f(x)] = 200 - 100 = 100$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه قوانین جمع و تفریق در بی‌نهایت\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">عملگر\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول کلی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">شرط\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمع\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim (f+g)=L_1+L_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هیچ شرط اضافی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تفریق\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim (f-g)=L_1-L_2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">هیچ شرط اضافی\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. قوانین ضرب و تقسیم با مثال عینی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای ضرب، اگر هر دو حد متناهی باشند، حد حاصلضرب برابر حاصلضرب حدهاست. حتی اگر یکی از حدها صفر باشد، قانون برقرار است (نتیجه صفر می‌شود). اما اگر یکی از حدها بی‌نهایت و دیگری غیرصفر باشد، حاصلضرب بی‌نهایت خواهد شد (با توجه به علامت). در تقسیم نیز اگر حد مخرج غیرصفر و متناهی باشد، قانون ساده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$f(x)=\\frac{2x^2+3}{x^2+1}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)=\\frac{5x}{x+2}$\u003C\u002Fspan>. حد هر کدام در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty$\u003C\u002Fspan>:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} f(x) = \\lim_{x\\to +\\infty} \\frac{2+3\u002Fx^2}{1+1\u002Fx^2} = \\frac{2+0}{1+0}=2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim_{x\\to +\\infty} g(x) = \\lim_{x\\to +\\infty} \\frac{5}{1+2\u002Fx} = \\frac{5}{1+0}=5$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>بنابراین: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim (f \\cdot g) = 2 \\times 5 = 10$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\lim (f \u002F g) = 2 \u002F 5 = 0.4$\u003C\u002Fspan> (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5\\neq 0$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته محاسباتی:\u003C\u002Fstrong> در تقسیم، حتماً باید ابتدا بررسی کنید که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim g \\neq 0$\u003C\u002Fspan>. اگر حد مخرج صفر شود، ممکن است حد تقسیم به بی‌نهایت برود یا حالت نامعین پیدا کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. رفتار در منفی بی‌نهایت و توابع چندجمله‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>همین قوانین برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to -\\infty$\u003C\u002Fspan> نیز برقرار است. برای توابع گویا (کسری از دو چندجمله‌ای)، معمولاً با تقسیم بر بالاترین توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> می‌توان حد را یافت. توجه کنید که در منفی بی‌نهایت، علامت جملات فرد تأثیرگذار است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$h(x)=\\frac{2x^3-5x}{x^3+4}$\u003C\u002Fspan>. برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x\\to -\\infty$\u003C\u002Fspan>، صورت و مخرج را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^3$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{2 - 5\u002Fx^2}{1 + 4\u002Fx^3}$\u003C\u002Fspan>. با نزدیک شدن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$-\\infty$\u003C\u002Fspan>، جملات \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$5\u002Fx^2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$4\u002Fx^3$\u003C\u002Fspan> به صفر می‌روند، پس حد برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. کاربرد در محاسبه حد توابع پیچیده تر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim_{x\\to +\\infty} \\left( \\sqrt{x^2+3x} - x \\right)$\u003C\u002Fspan> را محاسبه کنیم. این تابع به صورت تفریق دو عبارت است که هر دو به بی‌نهایت می‌روند، اما اختلاف آنها ممکن است عددی متناهی باشد. با استفاده از همیوغ (ضرب و تقسیم در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\sqrt{x^2+3x}+x$\u003C\u002Fspan>) داریم:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\frac{(x^2+3x) - x^2}{\\sqrt{x^2+3x}+x} = \\frac{3x}{\\sqrt{x^2+3x}+x}$\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>حال صورت و مخرج را بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{3}{\\sqrt{1+3\u002Fx}+1}$\u003C\u002Fspan> که حد آن برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{3}{1+1}=1.5$\u003C\u002Fspan> می‌شود. این مثال نشان می‌دهد که حتی با وجود نامعینی ظاهری، قوانین جمع و ضرب پس از ساده‌سازی قابل اعمال هستند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim f = +\\infty$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim g = -\\infty$\u003C\u002Fspan> باشد، آیا قانون جمع قابل استفاده است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، در این حالت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$+\\infty + (-\\infty)$\u003C\u002Fspan> یک حالت نامعین است و نمی‌توان به سادگی جمع زد. باید عبارت را به شکل دیگری ساده کرد (مثلاً فاکتورگیری). قوانین مقاله فقط زمانی معتبرند که هر دو حد متناهی باشند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا قانون تقسیم در بی‌نهایت زمانی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lim g = 0$\u003C\u002Fspan> ولی خود \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$g(x)$\u003C\u002Fspan> هرگز صفر نمی‌شود، باز هم به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1\u002F0$\u003C\u002Fspan> محاسبه می‌شود؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر، قانون تقسیم فقط برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2\\neq 0$\u003C\u002Fspan> معتبر است. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2=0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1\\neq 0$\u003C\u002Fspan>، حد کسر به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\pm\\infty$\u003C\u002Fspan> می‌رود (علامت به رفتار تابع بستگی دارد). اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1=0$\u003C\u002Fspan> هم باشد، حالت نامعین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0\u002F0$\u003C\u002Fspan> پیش می‌آید.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> آیا این قوانین برای توابعی که در بی‌نهایت حد ندارند (مثلاً نوسانی) نیز برقرار است؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. شرط اصلی قضایا این است که هر دو حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_1$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$L_2$\u003C\u002Fspan> موجود (متناهی یا نامتناهی معین) باشند. اگر حد یکی از توابع وجود نداشته باشد، نمی‌توان در مورد حد حاصل‌جمع یا حاصلضرب آن اظهار نظر قطعی کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> قوانین جمع، تفریق، ضرب و تقسیم حدها در بی‌نهایت، ابزارهای قدرتمندی برای ساده‌سازی محاسبات حد هستند، به شرط آنکه حد هر تابع به صورت جداگانه موجود و در مورد تقسیم، حد مخرج غیرصفر باشد. این قوانین در فیزیک، اقتصاد و مهندسی برای پیش‌بینی رفتار بلندمدت سیستم‌ها کاربرد گسترده‌ای دارند. دانش‌آموزان دبیرستان با تمرین مثال‌های گوناگون می‌توانند به تسلط خوبی در استفاده از این قواعد دست یابند و از برخورد با حالت‌های نامعین پرهیز کنند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> حد (Limit): مقداری که تابع با نزدیک شدن متغیر به نقطه یا بی‌نهایت مشخص، به آن نزدیک می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> حالت نامعین (Indeterminate Form): وضعیتی در محاسبه حد که قوانین عادی قابل اعمال نیستند و نیاز به ساده‌سازی یا روش‌های پیشرفته‌تر دارند، مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\infty - \\infty$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\frac{0}{0}$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تابع گویا (Rational Function): تابعی که به صورت خارج قسمت دو چندجمله‌ای نوشته می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> همیوغ (Conjugate): عبارتی که با تغییر علامت جمله دوم در یک دوجمله‌ای به دست می‌آید و برای حذف رادیکال استفاده می‌شود.\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,204],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,463,"2026-05-11 01:21:02","2026-09-10 11:45:48","سحر","شیرزاد","قوانین-جمع-تفریق-ضرب-و-تقسیم-حدها-در-مثبت-بینهایت-و-منفی-بینهایت","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F21","11:45 1405\u002F06\u002F19",{"tests":222,"papers":223,"files":224,"questions":225,"exams":226,"tutorials":227,"blogs":228},[],[],[],[],[],[],[229,238,246,254,262,270,278,286,294,302,310,318],{"id":230,"title":231,"cat":205,"pic":232,"up_date":233,"title_url":234,"url":235,"legacy_url":236,"cat_title":218,"update_jalali":237},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":239,"title":240,"cat":205,"pic":241,"up_date":242,"title_url":243,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":218,"update_jalali":237},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":247,"title":248,"cat":205,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":218,"update_jalali":237},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":255,"title":256,"cat":205,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":218,"update_jalali":237},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":263,"title":264,"cat":205,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":218,"update_jalali":237},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":271,"title":272,"cat":205,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":218,"update_jalali":237},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":279,"title":280,"cat":205,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":218,"update_jalali":237},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":287,"title":288,"cat":205,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":218,"update_jalali":237},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":295,"title":296,"cat":205,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":218,"update_jalali":237},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":303,"title":304,"cat":205,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":218,"update_jalali":237},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":311,"title":312,"cat":205,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":218,"update_jalali":237},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":319,"title":320,"cat":205,"pic":321,"up_date":322,"title_url":323,"url":324,"legacy_url":325,"cat_title":218,"update_jalali":237},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]