[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13295":199,"$fw0754g150x54":221},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":211,"status":4,"views":212,"subdate":213,"up_date":214,"first_name":215,"last_name":216,"avatar":13,"title_url":217,"cat_title":218,"subdate_jalali":219,"update_jalali":220},13295,1170,1171,4926,"حد حاصل‌ضرب توابع با عامل نامتناهی مثبت و منفی",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FaBugaE21kPFAUSru7Ah7_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"حد حاصل‌ضرب توابع با عامل نامتناهی مثبت و منفی\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">حد حاصل‌ضرب توابع با عامل نامتناهی مثبت و منفی\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی تحلیلی و گام‌به‌گام قوانین تعیین علامت حد ضرب توابع هنگامی که یکی از آن‌ها به سمت بینهایت میل کند\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله می‌آموزیم که اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} f(x) = +\\infty $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} g(x) = L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan> باشد، آن‌گاه علامت حد حاصل‌ضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x)g(x) $\u003C\u002Fspan> همواره با علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> یکسان است. همچنین اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} f(x) = -\\infty $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} g(x) = L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan> باشد، علامت حد حاصل‌ضرب مخالف علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> خواهد بود. این مفاهیم پایه‌ای در محاسبه حد توابع در دبیرستان و ریاضیات عمومی است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. مفهوم حد بینهایت و حد متناهی غیرصفر\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در علم حد، گاهی یک تابع با نزدیک شدن به نقطه‌ای خاص، بی‌نهایت بزرگ می‌شود. این حالت را \u003Cstrong>حد بینهایت\u003C\u002Fstrong> می‌نامیم. برای نمونه، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = \\frac{1}{(x-2)^2} $\u003C\u002Fspan> وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x \\to 2 $\u003C\u002Fspan> به سمت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> می‌رود. از سوی دیگر، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) $\u003C\u002Fspan> ممکن است به یک عدد ثابت غیرصفر مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 5 $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -3 $\u003C\u002Fspan> نزدیک شود. در این شرایط، حد حاصل‌ضرب این دو تابع نه تنها به سمت بینهایت می‌رود، بلکه علامت آن نیز توسط یک قانون ساده تعیین می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، فرض کنید در حال نزدیک شدن به نقطه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x=a $\u003C\u002Fspan> هستیم. مقدار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) $\u003C\u002Fspan> بی‌نهایت بزرگ (مثبت یا منفی) می‌شود و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) $\u003C\u002Fspan> به عدد ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> که مخالف صفر است، میل می‌کند. در چنین شرایطی، حاصل‌ضرب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x)g(x) $\u003C\u002Fspan> نیز به سمت بی‌نهایت می‌رود، اما علامت آن از حاصل‌ضرب علامت بی‌نهایت و علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> به دست می‌آید.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته پایه‌ای:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} f(x) = \\infty $\u003C\u002Fspan> (بدون علامت) و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} g(x)=L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>، آن‌گاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} [f(x)g(x)] = \\infty $\u003C\u002Fspan> ولی برای تعیین علامت باید به علامت‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> توجه کرد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. قانون یکسانی علامت برای حد بینهایت مثبت\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} f(x) = +\\infty $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} g(x) = L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>. در این حالت، برای مقادیر نزدیک به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ a $\u003C\u002Fspan>، تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) $\u003C\u002Fspan> مثبت و بسیار بزرگ است و تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) $\u003C\u002Fspan> به عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> نزدیک می‌شود. بنابراین علامت حاصل‌ضرب با علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> یکسان خواهد بود. به عبارت دیگر:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 8px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 6px 10px; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} [f(x)g(x)] = \\begin{cases} +\\infty & \\text{if } L \\gt 0 \\\\ -\\infty & \\text{if } L \\lt 0 \\end{cases} $\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = \\frac{1}{(x-1)^2} $\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید که وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x \\to 1 $\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) \\to +\\infty $\u003C\u002Fspan>. همچنین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) = 2x + 1 $\u003C\u002Fspan> که در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x=1 $\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L = 3 \\gt 0 $\u003C\u002Fspan> میل می‌کند. آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to 1} f(x)g(x) = +\\infty $\u003C\u002Fspan>. حال اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) = -x $\u003C\u002Fspan> را انتخاب کنیم، در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x \\to 1 $\u003C\u002Fspan> داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L = -1 \\lt 0 $\u003C\u002Fspan> و حد حاصل‌ضرب برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan> خواهد شد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. قانون علامت مخالف برای حد بینهایت منفی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>حال حالت دیگری را بررسی می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} f(x) = -\\infty $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} g(x) = L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) $\u003C\u002Fspan> مقادیر منفی بسیار بزرگی می‌گیرد. وقتی این مقدار منفی بزرگ را در عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> (مثبت یا منفی) ضرب کنیم، علامت حاصل برعکس علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L $\u003C\u002Fspan> خواهد بود. به بیان ریاضی:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 8px; direction: ltr; display: inline-block; padding: 6px 10px; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to a} [f(x)g(x)] = \\begin{cases} -\\infty & \\text{if } L \\gt 0 \\\\ +\\infty & \\text{if } L \\lt 0 \\end{cases} $\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عینی:\u003C\u002Fstrong> تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = -\\frac{1}{(x-2)^2} $\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x \\to 2 $\u003C\u002Fspan>، داریم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) \\to -\\infty $\u003C\u002Fspan>. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) = x+1 $\u003C\u002Fspan> باشد، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L = 3 \\gt 0 $\u003C\u002Fspan>، بنابراین حد ضرب برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan> خواهد بود. اما اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x) = -x $\u003C\u002Fspan> را انتخاب کنیم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L = -2 \\lt 0 $\u003C\u002Fspan> و در نتیجه حد ضرب به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> میل می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. جدول مقایسه موارد مختلف\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه علامت حد حاصل‌ضرب\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> (حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ g(x) $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">علامت حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f(x)g(x) $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مقدار حد\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثبت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\gt 0 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> (مثبت)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">منفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\lt 0 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> (منفی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثبت (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\gt 0 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مخالف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> (منفی)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">منفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\lt 0 $\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مخالف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> (مثبت)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. کاربرد عملی در محاسبه حد توابع کسری و چندجمله‌ای\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>فرض کنید می‌خواهیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to 3} \\frac{2x}{(x-3)^2} $\u003C\u002Fspan> را محاسبه کنیم. در اینجا صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ g(x)=2x $\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L=6 \\gt 0 $\u003C\u002Fspan> میل می‌کند و مخرج \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (x-3)^2 $\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ 0^+ $\u003C\u002Fspan> میل می‌کند، بنابراین تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = \\frac{1}{(x-3)^2} $\u003C\u002Fspan> به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> می‌رود. طبق قانون یکسانی علامت، حاصل‌ضرب برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> خواهد بود. توجه داشته باشید که در توابع گویا\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>، همواره باید ابتدا تابع را به صورت حاصل‌ضرب یک تابع با حد بینهایت و یک تابع با حد متناهی غیرصفر بازنویسی کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>مثال دیگر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\lim_{x \\to -1} \\frac{-3}{x+1} $\u003C\u002Fspan>. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ f(x) = \\frac{1}{x+1} $\u003C\u002Fspan> وقتی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ x \\to -1 $\u003C\u002Fspan> از دو جهت به بینهایت می‌رود اما علامت آن به جهت نزدیک شدن بستگی دارد. با این حال، چون صورت عدد ثابت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -3 $\u003C\u002Fspan> است، می‌توان نوشت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{-3}{x+1} = (-3) \\cdot \\frac{1}{x+1} $\u003C\u002Fspan>. اگر از سمت راست به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -1 $\u003C\u002Fspan> نزدیک شویم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{1}{x+1} \\to +\\infty $\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ L = -3 \\lt 0 $\u003C\u002Fspan>، بنابراین حد برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan> خواهد بود. اگر از سمت چپ نزدیک شویم، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\frac{1}{x+1} \\to -\\infty $\u003C\u002Fspan> و حاصل‌ضرب در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (-3) $\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> می‌شود. این نشان می‌دهد که در نقاطی که حد یک‌طرفه داریم، قوانین علامت همچنان برقرار است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\lim_{x \\to a} g(x) = 0 $\u003C\u002Fspan> باشد، آیا قوانین فوق همچنان معتبرند؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> خیر. این قوانین فقط زمانی معتبرند که حد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ g(x) $\u003C\u002Fspan> یک عدد غیرصفر متناهی باشد. اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L = 0 $\u003C\u002Fspan>، حاصل‌ضرب به حالت ابهام \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ 0 \\cdot \\infty $\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود که نیاز به بررسی جداگانه دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲:\u003C\u002Fstrong> آیا جهت نزدیک شدن به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ a $\u003C\u002Fspan> (حد یک‌طرفه) روی نتیجه تأثیر می‌گذارد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> در مواردی که علامت تابع \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ f $\u003C\u002Fspan> در دو طرف متفاوت است (مانند توابعی که مخرج توان فرد دارند)، حد یک‌طرفه می‌تواند علامت متفاوتی داشته باشد. اما قاعده اصلی (همانندی علامت با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> در حالت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> و عکس آن در حالت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan>) برای هر یک‌طرفه به طور جداگانه برقرار است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳:\u003C\u002Fstrong> چرا در قوانین گفته شده \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan>؟ اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> صفر باشد چه اتفاقی می‌افتد؟\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>پاسخ:\u003C\u002Fstrong> اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L = 0 $\u003C\u002Fspan>، حد حاصل‌ضرب فرم مبهم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\infty \\cdot 0 $\u003C\u002Fspan> را دارد. در این حالت حد ممکن است به عددی متناهی، صفر، بینهایت یا حتی وجود نداشته باشد، و تشخیص آن نیازمند روش‌های پیشرفته‌تری مانند قاعده هوپیتال\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> یا بسط سری\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله دریافتیم که اگر حد یک تابع به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ +\\infty $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ -\\infty $\u003C\u002Fspan> برود و حد تابع دیگر به عدد غیرصفر متناهی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> میل کند، آنگاه علامت حد حاصل‌ضرب در حالت اول با علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> یکسان و در حالت دوم مخالف علامت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L $\u003C\u002Fspan> است. این قوانین ساده اما پرکاربرد به دانش‌آموزان دبیرستانی کمک می‌کند تا بدون محاسبات پیچیده، علامت حد توابع گویا و کسری را به سرعت تعیین کنند. همچنین با جدول مقایسه و مثال‌های متعدد، کاربرد این مفاهیم در موقعیت‌های مختلف روشن شد. توجه به شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ L \\neq 0 $\u003C\u002Fspan> از نکات کلیدی است که از بروز ابهام جلوگیری می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"padding: 0\">\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> تابع گویا (Rational Function): تابعی که به صورت نسبت دو چندجمله‌ای نوشته می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> قاعده هوپیتال (L'Hôpital's Rule): روشی برای محاسبه حد توابع در حالت‌های مبهم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{0}{0} $\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$ \\frac{\\infty}{\\infty} $\u003C\u002Fspan> با مشتق گرفتن از صورت و مخرج.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> بسط سری (Series Expansion): نمایش یک تابع به صورت مجموع نامتناهی از جمله‌های ساده‌تر که در محاسبه حدهای مبهم کاربرد دارد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,204],"پایهٔ دوازدهم","حسابان دوازدهم",0,149,"2026-05-10 11:59:41","2026-09-10 12:17:51","سحر","شیرزاد","حد-حاصلضرب-توابع-با-عامل-نامتناهی-مثبت-و-منفی","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F20","12:17 1405\u002F06\u002F19",{"tests":222,"papers":223,"files":224,"questions":225,"exams":226,"tutorials":227,"blogs":228},[],[],[],[],[],[],[229,238,246,254,262,270,278,286,294,302,310,318],{"id":230,"title":231,"cat":205,"pic":232,"up_date":233,"title_url":234,"url":235,"legacy_url":236,"cat_title":218,"update_jalali":237},13166,"انتقال عمودی به بالا: تبدیل y = f(x) + k در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به بالا منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FFoTANvbRj5FoG20XlJYp_200.png","2026-09-11 11:26:18","انتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13166\u002Fانتقال-عمودی-به-بالا-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-بالا-منتقل-میکند","1405\u002F06\u002F20",{"id":239,"title":240,"cat":205,"pic":241,"up_date":242,"title_url":243,"url":244,"legacy_url":245,"cat_title":218,"update_jalali":237},13167,"انتقال عمودی به پایین: تبدیل y = f(x) + k در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FuJNjTbbgLXejstDk1c6Q_200.png","2026-09-11 11:21:22","انتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13167\u002Fانتقال-عمودی-به-پایین-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":247,"title":248,"cat":205,"pic":249,"up_date":250,"title_url":251,"url":252,"legacy_url":253,"cat_title":218,"update_jalali":237},13168,"انتقال افقی به چپ: تبدیل y = f(x + k) در حالت k > 0 که نمودار f را k واحد به چپ منتقل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FgAymHse2zFlSlbyvYR5x_200.png","2026-09-11 11:17:13","انتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13168\u002Fانتقال-افقی-به-چپ-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k-0-که-نمودار-f-را-k-واحد-به-چپ-منتقل-میکند",{"id":255,"title":256,"cat":205,"pic":257,"up_date":258,"title_url":259,"url":260,"legacy_url":261,"cat_title":218,"update_jalali":237},13169,"انتقال افقی به راست: تبدیل y = f(x + k) در حالت k ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKBCMRV5AnlnJ3QMSz8ot_200.png","2026-09-11 11:12:46","انتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13169\u002Fانتقال-افقی-به-راست-تبدیل-y-fx-k-در-حالت-k",{"id":263,"title":264,"cat":205,"pic":265,"up_date":266,"title_url":267,"url":268,"legacy_url":269,"cat_title":218,"update_jalali":237},13170,"دامنهٔ تابع: مجموعهٔ مقدارهای مجاز x که تابع برای آن‌ها تعریف شده است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FurqpgyzezpTtRLrSpPnc_200.png","2026-09-11 11:08:48","دامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13170\u002Fدامنه-تابع-مجموعه-مقدارهای-مجاز-x-که-تابع-برای-آنها-تعریف-شده-است",{"id":271,"title":272,"cat":205,"pic":273,"up_date":274,"title_url":275,"url":276,"legacy_url":277,"cat_title":218,"update_jalali":237},13171,"برد تابع: مجموعهٔ مقدارهای y که از مقداردهی تابع به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FWFCDPIxFmne7FoPCxc8A_200.png","2026-09-11 11:04:50","برد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13171\u002Fبرد-تابع-مجموعه-مقدارهای-y-که-از-مقداردهی-تابع-بهدست-میآیند",{"id":279,"title":280,"cat":205,"pic":281,"up_date":282,"title_url":283,"url":284,"legacy_url":285,"cat_title":218,"update_jalali":237},13172,"انبساط عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با k > 1 ضرب می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8mt8XvUgPJLIDRhz2wBj_200.png","2026-09-11 11:00:36","انبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13172\u002Fانبساط-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-k-1-ضرب-میکند",{"id":287,"title":288,"cat":205,"pic":289,"up_date":290,"title_url":291,"url":292,"legacy_url":293,"cat_title":218,"update_jalali":237},13173,"انقباض عمودی نمودار تابع: تبدیلی که عرض نقاط نمودار را در عدد k با ۰ ","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fc995TR5YoUAEL5cFqmno_200.png","2026-09-11 10:57:45","انقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13173\u002Fانقباض-عمودی-نمودار-تابع-تبدیلی-که-عرض-نقاط-نمودار-را-در-عدد-k-با-۰",{"id":295,"title":296,"cat":205,"pic":297,"up_date":298,"title_url":299,"url":300,"legacy_url":301,"cat_title":218,"update_jalali":237},13174,"تبدیل y = kf(x): تبدیلی که در آن عرض هر نقطهٔ نمودار y = f(x) در k ضرب می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FV0OQzzsqJm0GliW9SN1C_200.png","2026-09-11 10:53:47","تبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13174\u002Fتبدیل-y-kfx-تبدیلی-که-در-آن-عرض-هر-نقطه-نمودار-y-fx-در-k-ضرب-میشود",{"id":303,"title":304,"cat":205,"pic":305,"up_date":306,"title_url":307,"url":308,"legacy_url":309,"cat_title":218,"update_jalali":237},13175,"قرینه نسبت به محور x: تبدیلی که هر نقطهٔ (x, y) را به (x, −y) تبدیل می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8SwkJ0mNIeQwMFTCBzoV_200.png","2026-09-11 10:50:13","قرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13175\u002Fقرینه-نسبت-به-محور-x-تبدیلی-که-هر-نقطه-x-y-را-به-x-y-تبدیل-میکند",{"id":311,"title":312,"cat":205,"pic":313,"up_date":314,"title_url":315,"url":316,"legacy_url":317,"cat_title":218,"update_jalali":237},13186,"تابع نمایی: تابعی که متغیر در توان قرار دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fdz0qJafki1DGSEI8ZyLY_200.png","2026-09-11 09:39:13","تابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13186\u002Fتابع-نمایی-تابعی-که-متغیر-در-توان-قرار-دارد",{"id":319,"title":320,"cat":205,"pic":321,"up_date":322,"title_url":323,"url":324,"legacy_url":325,"cat_title":218,"update_jalali":237},13187,"تابع لگاریتمی: تابع وارون تابع نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F18apfTe0MBCAQ0g4vH8z_200.png","2026-09-11 09:31:51","تابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13187\u002Fتابع-لگاریتمی-تابع-وارون-تابع-نمایی"]