[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-13119":199,"$f1foovq9i6v083":222},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":212,"status":4,"views":213,"subdate":214,"up_date":215,"first_name":216,"last_name":217,"avatar":13,"title_url":218,"cat_title":219,"subdate_jalali":220,"update_jalali":221},13119,1170,1171,4927,"کران پایین: حداقل نظری تعداد رأس‌های لازم برای احاطهٔ گراف",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqcKDT8ZOICmqtYymyDx1_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"کران پایین n ÷ (Δ + 1) : حداقل نظری تعداد رأس‌های لازم برای احاطه گراف\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">کران پایین ⌈n ÷ (Δ + 1)⌉: حداقل نظری تعداد رأس‌های لازم برای احاطه گراف\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">بررسی فرمول کلیدی در نظریه گراف: چرا هر گراف به حداقل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n\u002F(Δ+1)⌉\u003C\u002Fspan> رأس برای احاطه کردن همه ی رأس ها نیاز دارد؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nاین مقاله به زبانی ساده و روان، کران پایین نظری \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n ÷ (Δ + 1)⌉\u003C\u002Fspan> را برای اندازه مجموعه احاطه گر\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> در گراف ها توضیح می دهد. با مفاهیمی مثل درجه رأس\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>، مجموعه احاطه گر و کران نظری\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> آشنا می شوید. مثال های گام به گام و جدول های مقایسه، درک این حداقل تعداد رأس های لازم برای پوشش کامل گراف را برای دانش آموزان دبیرستانی آسان می کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">آشنایی با مسئله احاطه در گراف\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">فرض کنید یک نقشه از شهرها (رأس‌ها) و جاده‌های بین آن‌ها (یال‌ها) داریم. می‌خواهیم تعدادی ایستگاه پلیس را در بعضی از شهرها مستقر کنیم، به طوری که هر شهری \u003Cstrong>یا خودش دارای ایستگاه باشد، یا حداقل با یک شهر دارای ایستگاه هم‌جوار باشد\u003C\u002Fstrong>. به این مجموعه از شهرها، «مجموعه احاطه گر» می‌گوییم. سوال این است: \u003Cstrong>کمترین تعداد ایستگاه (رأس) که برای هر گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> رأس تضمین می‌شود، چقدر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">پاسخ بخشی از این سوال در فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n ÷ (Δ + 1)⌉\u003C\u002Fspan> پنهان شده است، که در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ\u003C\u002Fspan> (بخوانید «دلتا») نشان‌دهنده \u003Cstrong>بیشینه درجه\u003C\u002Fstrong> گراف است؛ یعنی بیشترین تعداد همسایه‌ای که یک رأس می‌تواند داشته باشد. این مقدار، یک کران پایین نظری است: در بدترین حالت، نمی‌توانیم مجموعه احاطه‌گری با اندازه کوچک‌تر از این عدد پیدا کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"note\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>مثال ملموس:\u003C\u002Fstrong> گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n = 10\u003C\u002Fspan> رأس در نظر بگیرید که بیشینه درجه آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ = 3\u003C\u002Fspan> است. طبق فرمول داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈10 ÷ (3 + 1)⌉ = ⌈10 ÷ 4⌉ = ⌈2.5⌉ = 3\u003C\u002Fspan>. یعنی هر مجموعه احاطه‌گری در این گراف حداقل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> رأس دارد. حتی اگر گراف را طوری طراحی کنیم که احاطه کردن آن سخت باشد، باز هم به کمتر از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> رأس نمی‌توانیم برسیم.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">دلیل ساده پشت فرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n ÷ (Δ + 1)⌉\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">چرا این کران پایین معنا دارد؟ فرض کنید \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S\u003C\u002Fspan> یک مجموعه احاطه‌گر باشد. هر رأس در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S\u003C\u002Fspan> حداکثر می‌تواند خودش و همسایه‌هایش را «پوشش» دهد. اگر درجه یک رأس حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ\u003C\u002Fspan> باشد، آن رأس به همراه همسایه‌هایش حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ + 1\u003C\u002Fspan> رأس (شامل خودش) را پوشش می‌دهد. از آنجا که رأس‌های پوشش داده شده توسط اعضای مختلف \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S\u003C\u002Fspan> ممکن است با هم تداخل داشته باشند، در بدترین حالت (برای کمترین تعداد عضو \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S\u003C\u002Fspan>) این پوشش‌ها هیچ اشتراکی ندارند. بنابراین:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; margin: 0 auto 16px auto; text-align: center; width: 100%; : \">\r\n$ |S| \\times (\\Delta + 1) \\ge n \\quad \\Rightarrow \\quad |S| \\ge \\frac{n}{\\Delta + 1} $\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">از آنجا که تعداد رأس‌ها یک عدد صحیح است، باید به سمت بالاتر گرد شود: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">|S| \\ge \\lceil n \u002F (\\Delta + 1) \\rceil\u003C\u002Fspan>. این یک استدلال ساده ولی قدرتمند است که در نظریه گراف کاربرد فراوانی دارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مقایسه گراف های مختلف: جدول کران پایین\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">در جدول زیر، تأثیر تعداد رأس‌ها و بیشینه درجه را روی کران پایین مشاهده می‌کنید. هرچه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ\u003C\u002Fspan> بزرگتر باشد، کران پایین کوچکتر می‌شود، زیرا هر رأس می‌تواند تعداد بیشتری از همسایگان را پوشش دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه کران پایین برای گراف های مختلف\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد رأس‌ها \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(n)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">بیشینه درجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">(Δ)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">محاسبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u002F(Δ+1)\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">کران پایین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n\u002F(Δ+1)⌉\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u002F3 ≈ 2.33\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">7\u002F7 = 1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">15\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">15\u002F4 = 3.75\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">20\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">20\u002F5 = 4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">نکته جالب: اگر گراف هیچ یالی نداشته باشد (گراف تهی)، آنگاه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ = 0\u003C\u002Fspan> و کران پایین برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n\u002F1⌉ = n\u003C\u002Fspan> می‌شود؛ یعنی باید همه رأس‌ها را انتخاب کنیم. این کاملاً منطقی است، چون هیچ رأس دیگری را پوشش نمی‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">کاربرد عملی: طراحی شبکه حسگرها\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 0 0 12px 0; : \">فرض کنید می‌خواهیم در یک منطقه با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> نقطه (مثلاً اتاق‌های یک ساختمان) حسگرهای دود نصب کنیم. هر حسگر محدوده پوشش مشخصی دارد (شامل اتاق خود و اتاق‌های مجاور). اگر نقشه همسایگی را به صورت یک گراف رسم کنیم، بیشینه درجه نشان می‌دهد هر اتاق حداکثر با چند اتاق دیگر همسایه است. طبق فرمول، حتی با بهترین چیدمان، نمی‌توانیم از \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n\u002F(Δ+1)⌉\u003C\u002Fspan> حسگر کمتر استفاده کنیم. این کران پایین به مهندسان کمک می‌کند بدانند در بدترین حالت به چند حسگر نیاز دارند و بودجه خود را دست کم نگیرند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"note\" style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>مثال مرحله به مرحله:\u003C\u002Fstrong> گرافی با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n = 9\u003C\u002Fspan> رأس و بیشینه درجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ = 2\u003C\u002Fspan> (گرافی شبیه یک مسیر یا حلقه) را در نظر بگیرید. فرمول می‌گوید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈9\u002F(2+1)⌉ = ⌈9\u002F3⌉ = 3\u003C\u002Fspan>. حال اگر مجموعه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S = \\{v_2, v_5, v_8\\}\u003C\u002Fspan> را انتخاب کنیم (با فاصله یکسان)، خواهید دید که هر رأس یا در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">S\u003C\u002Fspan> است یا به یکی از آن‌ها متصل است. به عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> رسیدیم. آیا می‌توان با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> رأس هم کار کرد؟ اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">2\u003C\u002Fspan> رأس انتخاب کنیم، هر کدام حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">3\u003C\u002Fspan> رأس (خودشان به اضافه همسایه‌ها) را پوشش می‌دهند، مجموعاً حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">6\u003C\u002Fspan> رأس، در حالی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">9\u003C\u002Fspan> رأس داریم. بنابراین غیرممکن است. این نشان می‌دهد فرمول یک حد ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>۱. آیا همیشه می‌توان به این کران پایین دست یافت؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: خیر. این مقدار فقط یک کران پایین نظری است (یعنی هیچ مجموعه احاطه‌گری کوچک‌تر از آن وجود ندارد)، اما رسیدن به آن همیشه ممکن نیست. برای مثال، برخی گراف‌ها به مجموعه احاطه‌گر بزرگ‌تری نیاز دارند. این فرمول حداقل را مشخص می‌کند، نه اینکه بگوید حتماً می‌توان به آن رسید.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>۲. اگر گراف کامل باشد (هر رأس به همه رأس‌های دیگر وصل است)، کران پایین چقدر است؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: در گراف کامل با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> رأس، بیشینه درجه برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n-1\u003C\u002Fspan> است. بنابراین \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n\u002F((n-1)+1)⌉ = ⌈n\u002Fn⌉ = 1\u003C\u002Fspan>. این بدان معناست که از نظر نظری، یک رأس می‌تواند همه را احاطه کند (چون به همه وصل است). در عمل هم با انتخاب یک رأس دلخواه، تمام گراف پوشش داده می‌شود. پس کران پایین دست‌یافتنی است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; margin-bottom: 12px; : \">\r\n\u003Cstrong>۳. فرق این کران با کران بالا چیست؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: کران پایین می‌گوید «از این تعداد کمتر نمی‌شود»، اما کران بالا (مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n - Δ\u003C\u002Fspan> یا قضایای دیگر) می‌گوید «همیشه با این تعداد می‌شود». مجموعه‌ای که کران بالا را به دست می‌دهد معمولاً با الگوریتم‌های حریصانه ساخته می‌شود. دانستن هر دو کران، تصویر کاملی از مسئله به ما می‌دهد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>جمع‌بندی\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nفرمول \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">⌈n ÷ (Δ + 1)⌉\u003C\u002Fspan> یک ابزار ساده و در عین حال بنیادین در نظریه گراف است. با استفاده از استدلال «هر رأس حداکثر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ + 1\u003C\u002Fspan> رأس را پوشش می‌دهد» می‌توان ثابت کرد که هر مجموعه احاطه‌گر در یک گراف با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">n\u003C\u002Fspan> رأس و بیشینه درجه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">Δ\u003C\u002Fspan> حداقل به این تعداد رأس نیاز دارد. این کران پایین در مسائل بهینه‌سازی، طراحی شبکه و درک ساختار گراف‌ها کاربرد گسترده‌ای دارد. به خاطر داشته باشید که این کران همیشه قابل دستیابی نیست، اما مرز پایین‌تری را مشخص می‌کند که هیچ مجموعه احاطه‌گری نمی‌تواند از آن عبور کند.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> مجموعه احاطه گر (Dominating Set): زیرمجموعه‌ای از رأس‌های گراف است به طوری که هر رأس گراف یا خود در این مجموعه قرار دارد یا با حداقل یکی از رأس‌های این مجموعه همسایه است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> درجه رأس (Degree of a Vertex): تعداد یال‌هایی که به یک رأس متصل هستند. به عبارت دیگر، تعداد همسایه‌های آن رأس در گراف.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> کران نظری (Theoretical Bound): حد پایین یا بالایی که بر اساس ویژگی‌های ریاضی یک مسئله به دست می‌آید و نشان می‌دهد جواب بهینه در چه بازه‌ای قرار دارد، حتی پیش از محاسبه دقیق آن.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[209,210,211],"پایهٔ دوازدهم","ریاضیات گسسته دوازدهم","کران پایین",0,223,"2026-05-07 17:40:25","2026-09-11 12:51:12","سحر","شیرزاد","کران-پایین-حداقل-نظری-تعداد-رأسهای-لازم-برای-احاطه-گراف","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F17","12:51 1405\u002F06\u002F20",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311,320],{"id":231,"title":232,"cat":205,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":219,"update_jalali":238},13014,"درستی گزاره (صدق): حالتی که گزاره صحیح باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FtIfY5hTDq9uklTTwE2rz_200.png","2026-09-13 10:37:04","درستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13014\u002Fدرستی-گزاره-صدق-حالتی-که-گزاره-صحیح-باشد","1405\u002F06\u002F22",{"id":240,"title":241,"cat":205,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":219,"update_jalali":238},13015,"نادرستی گزاره (کذب): حالتی که گزاره غلط باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FnC9NHaQyPaFx8KyaBbY5_200.png","2026-09-13 10:33:13","نادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13015\u002Fنادرستی-گزاره-کذب-حالتی-که-گزاره-غلط-باشد",{"id":248,"title":249,"cat":205,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":219,"update_jalali":238},13016,"مثال نقض: نمونه‌ای که یک گزاره کلی را رد می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9ZxXQUD1UrewPoWG9MEa_200.png","2026-09-13 10:30:53","مثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13016\u002Fمثال-نقض-نمونهای-که-یک-گزاره-کلی-را-رد-میکند",{"id":256,"title":257,"cat":205,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":219,"update_jalali":238},13017,"حکم کلی: گزاره‌ای که برای همه حالت‌ها ادعا دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEP0GI5qQsu3th91qXnY3_200.png","2026-09-13 10:28:33","حکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13017\u002Fحکم-کلی-گزارهای-که-برای-همه-حالتها-ادعا-دارد",{"id":264,"title":265,"cat":205,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":219,"update_jalali":238},13018,"اثبات مستقیم: اثباتی که از فرض به نتیجه به‌صورت مستقیم می‌رسد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FDABIp6WAehXkKXsSG9FX_200.png","2026-09-13 10:24:30","اثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13018\u002Fاثبات-مستقیم-اثباتی-که-از-فرض-به-نتیجه-بهصورت-مستقیم-میرسد",{"id":272,"title":273,"cat":205,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":219,"update_jalali":238},13019,"اعداد متوالی: اعدادی که پشت‌سرهم با فاصله ۱ قرار دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FMQxKxC1tfajqKjaX6rsG_200.png","2026-09-13 10:21:49","اعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13019\u002Fاعداد-متوالی-اعدادی-که-پشتسرهم-با-فاصله-۱-قرار-دارند",{"id":280,"title":281,"cat":205,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":219,"update_jalali":238},13020,"اثبات با بررسی همه حالت‌های ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVXnKVCXmXgkUVE32J59s_200.png","2026-09-13 10:19:40","اثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13020\u002Fاثبات-با-بررسی-همه-حالتهای-ممکن",{"id":288,"title":289,"cat":205,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":219,"update_jalali":238},13021,"گزاره شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCybtTp6I2uiF6cc7dz25_200.png","2026-09-13 10:16:51","گزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13021\u002Fگزاره-شرطی",{"id":296,"title":297,"cat":205,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":219,"update_jalali":238},13022,"هم‌ارزی منطقی: داشتن ارزش منطقی یکسان بین دو گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGYn2mG9hAqsZs8tfDydF_200.png","2026-09-13 10:14:05","همارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13022\u002Fهمارزی-منطقی-داشتن-ارزش-منطقی-یکسان-بین-دو-گزاره",{"id":304,"title":305,"cat":205,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":219,"update_jalali":238},13023,"ترکیب دوشرطی (↔): گزاره‌ای که دو طرف آن هم‌ارز باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F1xjn7Jz5lwPOY4qyasjr_200.png","2026-09-13 10:11:29","ترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13023\u002Fترکیب-دوشرطی-گزارهای-که-دو-طرف-آن-همارز-باشند",{"id":312,"title":313,"cat":205,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":219,"update_jalali":319},13081,"درجهٔ رأس در گراف: تعداد یال‌های متصل به یک رأس در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FO0GeuBsv0VFDPo5mvRES_200.png","2026-09-12 21:20:01","درجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13081\u002Fدرجه-رأس-در-گراف-تعداد-یالهای-متصل-به-یک-رأس-در-گراف","1405\u002F06\u002F21",{"id":321,"title":322,"cat":205,"pic":323,"up_date":324,"title_url":325,"url":326,"legacy_url":327,"cat_title":219,"update_jalali":319},13082,"رأس فرد در گراف: رأسی با درجهٔ فرد در گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzyE6HUE5oa0YdGckXDRS_200.png","2026-09-12 21:16:42","رأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F13082\u002Fرأس-فرد-در-گراف-رأسی-با-درجه-فرد-در-گراف"]