[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12993":199,"$f1u8nyefsrdoqw":222},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":212,"status":4,"views":213,"subdate":214,"up_date":215,"first_name":216,"last_name":217,"avatar":13,"title_url":218,"cat_title":219,"subdate_jalali":220,"update_jalali":221},12993,1169,1171,3858,"اتحادهای جبری: رابطه‌های استاندارد جبری که برای تجزیه و ساده‌سازی عبارت‌ها به کار می‌روند.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FS1d8tukyMFsHd071KotS_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"اتحادهای جبری: رابطه‌های استاندارد جبری برای تجزیه و ساده‌سازی عبارت‌ها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">اتحادهای جبری: ابزارهای استاندارد برای تجزیه و ساده‌سازی عبارت‌ها\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">مفاهیم پایه، فرمول‌های کلیدی، جدول مقایسه و روش‌های تشخیص اتحادها در مسائل جبر دبیرستان\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"seo-summary\" style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">اتحادهای جبری\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> به عنوان رابطه‌های استاندارد در ریاضیات، نقش اصلی را در تجزیه، فاکتورگیری و ساده‌سازی عبارت‌های جبری ایفا می‌کنند. در این مقاله با انواع اتحادهای مربع\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>، مکعب\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>، مزدوج\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> و اتحاد جمله مشترک آشنا می‌شوید. همچنین روش‌های تشخیص سریع اتحادها، جدول مقایسه فرمول‌ها و مثال‌های گام‌به‌گام برای دانش‌آموزان مقطع دبیرستان ارائه شده است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اتحاد مربع دوجمله‌ای (مجذور مجموع و تفاضل)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اتحاد مربع مجموع دو جمله و مربع تفاضل دو جمله از پرکاربردترین رابطه‌های استاندارد جبری هستند. این اتحادها به شما کمک می‌کنند تا بدون انجام ضرب مستقیم، نتیجه را بنویسید.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>و\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال گام‌به‌گام:\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(3x + 5y)²\u003C\u002Fspan> را ساده کنید. طبق اتحاد مربع مجموع:\u003Cbr>\r\nمرحله اول: مربع جمله اول یعنی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(3x)² = 9x²\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nمرحله دوم: دو برابر حاصل‌ضرب دو جمله: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2 × (3x) × (5y) = 30xy\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nمرحله سوم: مربع جمله دوم: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(5y)² = 25y²\u003C\u002Fspan>. در نتیجه: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">9x² + 30xy + 25y²\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"note-box\" style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته عملی:\u003C\u002Fstrong> اگر در عبارت جبری، جمله‌های میانی قرینه داشتید، به اتحاد تفاضل شک کنید. مثلاً \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x² - 8x + 16\u003C\u002Fspan> برابر است با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(x - 4)²\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اتحاد مزدوج (تفاضل دو مربع) و جمله مشترک\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>اتحاد مزدوج یا تفاضل دو مربع، یکی از ساده‌ترین روش‌ها برای فاکتورگیری از عبارت‌های درجه دوم است:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین اتحاد جمله مشترک برای ضرب دو دوجمله‌ای که یک جمله مشترک دارند به کار می‌رود:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال:\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(2m + 3)(2m - 3)\u003C\u002Fspan> را ساده کنید. این همان اتحاد مزدوج است: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(2m)² - 3² = 4m² - 9\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه اتحادهای اصلی جبری\" class=\"table-wrapper\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نام اتحاد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">فرمول استاندارد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مثال عددی\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مربع مجموع\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(a+b)^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(2+3)^2=25$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مربع تفاضل\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(a-b)^2$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(5-2)^2=9$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مزدوج (تفاضل مربع)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(a+b)(a-b)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(4+1)(4-1)=15$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">جمله مشترک\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x+p)(x+q)$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x+2)(x+3)=x²+5x+6$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">اتحادهای مکعب (مجذور و مکعب دوجمله‌ای)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای توان سوم نیز اتحادهای استانداردی وجود دارد که به خاطر سپردن آن‌ها در مسائل فاکتورگیری و بسط عبارت‌های درجه سه بسیار مفید است:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>و\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>همچنین اتحاد مجموع و تفاضل مکعب‌ها:\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $\u003C\u002Fspan>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $\u003C\u002Fspan>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>مثال عملی:\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8x³ - 27\u003C\u002Fspan> را تجزیه کنید. توجه کنید \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">8x³ = (2x)³\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">27 = 3³\u003C\u002Fspan>. بنابراین با استفاده از اتحاد تفاضل مکعب‌ها داریم: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(2x - 3)(4x² + 6x + 9)\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">کاربرد عملی در حل معادله و ساده‌سازی عبارت‌های جبری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در بسیاری از مسائل دبیرستان، تشخیص سریع اتحاد مناسب می‌تواند زمان حل را تا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">50\u003C\u002Fspan> درصد کاهش دهد. برای نمونه، معادله \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x² - 49 = 0\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. با دید اتحاد مزدوج، سمت چپ به \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(x-7)(x+7)=0\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود و ریشه‌ها، \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=7\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x=-7\u003C\u002Fspan> خواهند بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>یک مثال واقعی دیگر: در فیزیک دبیرستان، رابطهٔ مسافت در حرکت با شتاب ثابت به صورت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x = v_0 t + \\frac{1}{2} a t^2$\u003C\u002Fspan> است. اگر عبارت \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$v_0^2 + 2ax$\u003C\u002Fspan> را ببینید، گاهی با جایگذاری و استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای به رابطهٔ معروف تور Ricciلی رسیده می‌شود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"faq-box\" style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: none; color: #344054; font-size: 18px; padding: 0\">چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 12px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۱. چگونه بین اتحاد مربع مجموع و مربع تفاضل تمایز بگذاریم؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: علامت جمله میانی را بررسی کنید. اگر جمله میانی مثبت باشد، اتحاد مربع مجموع و اگر منفی باشد، اتحاد مربع تفاضل به کار می‌رود. مثال: \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x² + 6x + 9 = (x+3)²\u003C\u002Fspan> اما \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x² - 6x + 9 = (x-3)²\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 12px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۲. آیا اتحاد جمله مشترک فقط برای دوجمله‌ای‌های با ضریب یک جملهٔ \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> کاربرد دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: خیر، می‌توان آن را تعمیم داد. برای حالت کلی \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(ax + b)(cx + d)\u003C\u002Fspan> از روش ضرب دوجمله‌ای استفاده می‌شود، اما اتحاد جمله مشترک ساده‌شده برای زمانی است که ضرایب \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan> در هر دو پرانتز برابر با \u003Cspan dir=\"ltr\" style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan> باشند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 12px; margin-bottom: 0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Cstrong>۳. چرا گاهی اتحادها را "رابطه‌های استاندارد" می‌نامند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>پاسخ: زیرا این رابطه‌ها همواره بر اساس تعریف عملیات جبری (جمع، ضرب و توان) برای هر عدد حقیقی یا مختلط برقرارند و نیاز به اثبات مجدد در هر مسئله ندارند. به همین دلیل به عنوان ابزارهای از پیش اثبات‌شده در ساده‌سازی عبارت‌ها به کار می‌روند.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv class=\"summary-box\" style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>جمع‌بندی:\u003C\u002Fstrong> اتحادهای جبری شامل هفت رابطهٔ اصلی (مربع مجموع، مربع تفاضل، مزدوج، جمله مشترک، مکعب مجموع، مکعب تفاضل و مجموع\u002Fتفاضل مکعب‌ها) می‌شوند. تسلط بر این اتحادها به دانش‌آموز امکان می‌دهد تا عبارت‌های جبری را سریع‌تر تجزیه، ساده‌سازی و فاکتورگیری کند. جدول مقایسه و مثال‌های عددی ارائه‌شده در این مقاله، ابزار مناسبی برای تمرین و تشخیص اتحاد مناسب در مسائل مختلف دبیرستان است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> اتحادهای جبری (Algebraic Identities): تساوی‌هایی که به ازای همهٔ مقادیر متغیرها برقرارند و برای بازنویسی عبارت‌ها به کار می‌روند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> اتحاد مربع (Square Identity): رابطه‌ای که مجذور یک دوجمله‌ای را به صورت مجموع مربع‌ها و دو برابر حاصلضرب جمله‌ها نشان می‌دهد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> اتحاد مکعب (Cube Identity): رابطه‌ای که توان سوم یک دوجمله‌ای را به صورت بسط چهار جمله‌ای بیان می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> اتحاد مزدوج (Conjugate Identity): تساوی حاصلضرب مجموع و تفاضل دو جمله با تفاضل مربع‌های آن‌ها.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,211],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","اتحادهای جبری",0,782,"2026-05-05 22:05:37","2026-08-12 12:45:05","سحر","شیرزاد","اتحادهای-جبری-رابطههای-استاندارد-جبری-که-برای-تجزیه-و-سادهسازی-عبارتها-به-کار-میروند","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F15","12:45 1405\u002F05\u002F21",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311,319],{"id":231,"title":232,"cat":205,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":219,"update_jalali":238},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":240,"title":241,"cat":205,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":219,"update_jalali":238},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":248,"title":249,"cat":205,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":219,"update_jalali":238},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":256,"title":257,"cat":205,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":219,"update_jalali":238},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":205,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":219,"update_jalali":238},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":272,"title":273,"cat":205,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":219,"update_jalali":238},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":280,"title":281,"cat":205,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":219,"update_jalali":238},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":288,"title":289,"cat":205,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":219,"update_jalali":238},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":296,"title":297,"cat":205,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":219,"update_jalali":238},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":304,"title":305,"cat":205,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":219,"update_jalali":238},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":312,"title":313,"cat":205,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":219,"update_jalali":238},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":320,"title":321,"cat":205,"pic":322,"up_date":323,"title_url":324,"url":325,"legacy_url":326,"cat_title":219,"update_jalali":238},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]