[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-12508":3,"categoryMenus":29,"$f3tjcsy2vri3cs":222},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"title_url":25,"cat_title":26,"subdate_jalali":27,"update_jalali":28},12508,67,1169,1171,3858,"کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها: کمترین عبارت جبری که همه مخرج‌ها را شامل می‌شود و برای حذف کسرها به کار می‌رود.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FxktAni8wM7pxoSkxyaCp_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها: کمترین عبارت جبری برای حذف کسرها\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها (ک.م.م) در عبارات جبری\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">روشی گام‌به‌گام برای یافتن کمترین عبارت جبری که همهٔ مخرج‌ها را پوشش می‌دهد و کسرها را حذف می‌کند\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله یاد می‌گیرید که چگونه کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) مخرج‌های جبری را پیدا کنید. این مفهوم برای ساده‌سازی و حذف کسرها از معادلات و نامعادلات ضروری است. با استفاده از ک.م.م می‌توانید معادلات کسری را به معادلات خطی یا درجه دوم بدون کسر تبدیل کنید. روش‌های فاکتورگیری، مقایسهٔ چندجمله‌ای‌ها، و کاربرد در حل معادلات گویا\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> از جمله مباحث کلیدی این مقاله هستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. مفهوم ک.م.م در اعداد و گسترش آن به عبارات جبری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) دو یا چند عدد، کوچکترین عدد مثبتی است که بر همۀ آن اعداد بخش‌پذیر باشد. برای نمونه، ک.م.م اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12\u003C\u002Fspan> است؛ زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">12\u003C\u002Fspan> بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">6\u003C\u002Fspan> بخش‌پذیر است و هیچ عدد کوچک‌تری این ویژگی را ندارد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>در جبر، به جای عدد، با \u003Cstrong>عبارات جبری\u003C\u002Fstrong> مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x+2$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2-1$\u003C\u002Fspan> سروکار داریم. ک.م.م دو عبارت جبری، کمترین عبارتی است که بر هر دو بخش‌پذیر باشد (یعنی هر کدام از آن عبارات، عامل\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> این ک.م.م باشند). به همین دلیل، برای یافتن ک.م.م جبری، ابتدا هر عبارت را \u003Cstrong>تجزیه به عوامل اول\u003Csup>3\u003C\u002Fsup>\u003C\u002Fstrong> می‌کنیم (به صورت چندجمله‌ای‌های تجزیه‌ناپذیر).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">مثال: ک.م.م دو عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 4$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 2x$\u003C\u002Fspan> را پیدا کنید.\u003Cbr>\r\nابتدا تجزیه می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 2x = x(x-2)$\u003C\u002Fspan>.\u003Cbr>\r\nسپس از هر عامل تجزیه‌ناپذیر، بزرگترین توان موجود را انتخاب می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-2)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x+2)$\u003C\u002Fspan>. بنابراین ک.م.م برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x(x-2)(x+2)$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. روش گام‌به‌گام محاسبه ک.م.م مخرج‌های کسری جبری\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>برای حذف کسرها از یک معادله یا عبارت گویا، باید تمام مخرج‌ها را بررسی کنیم و ک.م.م آن‌ها را پیدا کنیم. سپس دو سوی معادله (یا صورت و مخرج) را در این ک.م.م ضرب می‌کنیم تا کسرها حذف شوند. مراحل زیر را دنبال کنید:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۱:\u003C\u002Fstrong> هر مخرج را به طور کامل بر حسب عوامل جبری تجزیه کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۲:\u003C\u002Fstrong> فهرست همهٔ عوامل متفاوت (شامل اعداد و متغیرها و دوجمله‌ای‌ها) را بنویسید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۳:\u003C\u002Fstrong> از هر عامل، بزرگترین توانی را که در مخرج‌ها دیده می‌شود، انتخاب کنید.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۴:\u003C\u002Fstrong> حاصل‌ضرب این عوامل (با توان‌های انتخابی) برابر ک.م.م مخرج‌هاست.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cstrong>گام ۵:\u003C\u002Fstrong> برای حذف کسرها، هر جملهٔ معادله را در این ک.م.م ضرب کنید.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>برای درک بهتر، معادلهٔ زیر را در نظر بگیرید که در آن باید ک.م.م مخرج‌ها را بیابیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x+1} = 1$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nمخرج‌ها: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x+1$\u003C\u002Fspan> که هر کدام تجزیه‌ناپذیرند. ک.م.م برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x(x+1)$\u003C\u002Fspan> است. با ضرب کل معادله در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x(x+1)$\u003C\u002Fspan> خواهیم داشت: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2(x+1) + 3x = x(x+1)$\u003C\u002Fspan> که یک معادله درجه دوم بدون کسر است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. کاربرد عملی: حل معادلات گویا با استفاده از ک.م.م\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>در بسیاری از مسائل فیزیک، اقتصاد و مهندسی، معادلاتی به شکل کسرهای جبری ظاهر می‌شوند. ک.م.م مخرج‌ها به عنوان ابزاری نیرومند برای تبدیل این معادلات به شکل چندجمله‌ای استاندارد عمل می‌کند. فرض کنید می‌خواهیم معادلهٔ زیر را حل کنیم:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\frac{1}{x-2} + \\frac{4}{x^2 - 4} = \\frac{2}{x+2}$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nنخست مخرج سوم را تجزیه می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$\u003C\u002Fspan>. مخرج‌ها عبارتند از: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-2)$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-2)(x+2)$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x+2)$\u003C\u002Fspan>. ک.م.م برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x-2)(x+2)$\u003C\u002Fspan> است. با ضرب تمام معادله در این ک.م.م، کسرها حذف شده و معادلهٔ خطی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(x+2) + 4 = 2(x-2)$\u003C\u002Fspan> بدست می‌آید که حل آن آسان است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>توجه داشته باشید که پس از حذف کسرها، باید ریشه‌های به‌دست‌آمده را در مخرج‌های اصلی آزمایش کنید تا مطمئن شوید مخرج صفر نمی‌شود (شرایط وجود).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"مقایسه ک.م.م در اعداد و عبارات جبری\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ک.م.م در اعداد\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ک.م.م در عبارات جبری\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">عوامل پایه\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">اعداد اول\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">چندجمله‌ای‌های تجزیه‌ناپذیر\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">روش یافتن\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">ب.م.م\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> و ضرب اعداد\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فاکتورگیری و انتخاب بزرگترین توان\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">نوع حاصل\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک عدد صحیح\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">یک عبارت جبری (چندجمله‌ای یا حاصل‌ضرب)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">کاربرد اصلی در حذف کسرها\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">معادلات عددی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">معادلات گویا و توابع کسری\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. اشتباهات رایج و چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>❓ پرسش ۱: آیا همیشه باید از ک.م.م استفاده کنیم؟ نمی‌توان مخرج‌ها را مستقیماً با هم ضرب کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: ضرب مستقیم مخرج‌ها نیز کسرها را حذف می‌کند، اما عبارت حاصل بسیار بزرگتر از ک.م.م خواهد بود. استفاده از ک.م.م معادله را ساده‌تر کرده و از درجات بالای غیرضروری جلوگیری می‌کند. مثلاً برای مخرج‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x+2$\u003C\u002Fspan>، ضرب مستقیم یعنی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x(x+2)$\u003C\u002Fspan> که همان ک.م.م است؛ ولی اگر مخرج‌ها عامل مشترک داشتند (مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2$\u003C\u002Fspan>)، ضرب مستقیم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^3$\u003C\u002Fspan> می‌دهد در حالی که ک.م.م برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>❓ پرسش ۲: اگر مخرج شامل چندجمله‌ای باشد که نتوان تجزیه کرد، چه باید کرد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: اگر چندجمله‌ای در اعداد حقیقی تجزیه‌ناپذیر باشد (مثل \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$x^2+1$\u003C\u002Fspan>)، خود آن چندجمله‌ای به عنوان یک عامل در ک.م.م ظاهر می‌شود. هیچ‌گاه سعی نکنید آن را به عوامل غیرواقعی تجزیه کنید مگر در زمینه اعداد مختلط.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>❓ پرسش ۳: آیا ک.م.م مخرج‌ها با کوچکترین مخرج مشترک (ک.م.م) اعداد تفاوت ماهوی دارد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nپاسخ: مبنا یکی است: «کوچکترین عبارتی که بر همهٔ مخرج‌ها بخش‌پذیر است». تفاوت در نوع عوامل (عدد اول در مقابل چندجمله‌ای) و عمل «بخش‌پذیری» در جبر است. در جبر، عبارت A بر عبارت B بخش‌پذیر است اگر خارج قسمت A بر B یک چندجمله‌ای باشد.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. جمع‌بندی نهایی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌های جبری، ابزاری کلیدی برای ساده‌سازی معادلات گویا و حذف کسرها است. با تجزیهٔ مخرج‌ها به عوامل تجزیه‌ناپذیر و انتخاب بزرگترین توان هر عامل، می‌توان ک.م.م را به دست آورد. ضرب کردن کل معادله در این ک.م.م، آن را به معادلهٔ چندجمله‌ای تبدیل می‌کند که حل آن ساده‌تر است. همچنین باید همواره ریشه‌های نهایی را از نظر نامعین‌سازی (صفر شدن مخرج) بررسی کرد. تسلط بر این روش، پایهٔ محکمی برای حل مسائل پیشرفته‌تر در ریاضیات و علوم تجربی فراهم می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; padding: 0\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> معادله گویا (Rational Equation): معادله‌ای که حداقل یک جملهٔ کسری با متغیر در مخرج داشته باشد.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> عامل (Factor): عبارتی که یک عبارت دیگر را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کند.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> تجزیه به عوامل اول (Factorization): فرآیند نوشتن یک عبارت به صورت حاصل‌ضرب عبارات ساده‌تر (غیرقابل تجزیه).\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگترین عدد یا عبارتی که بر تمام اعداد یا عبارات مورد نظر بخش‌پذیر است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"پایهٔ یازدهم","حسابان یازدهم","کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها",0,1,243,"2026-04-26 13:45:19","2026-08-31 10:44:21","سحر","شیرزاد","کوچکترین-مضرب-مشترک-مخرجها-کمترین-عبارت-جبری-که-همه-مخرجها-را-شامل-میشود-و-برای-حذف-کسرها-به-کار-میرود","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F6","10:44 1405\u002F06\u002F9",{"status":19,"data":30},[31,70,130,148,168],{"id":19,"title":32,"list_order":19,"items":33},"آشنایی",[34,39,43,47,54,58,62,66],{"id":35,"link":36,"type":37,"slug":12,"title":38},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":40,"link":41,"type":37,"slug":12,"title":42},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":44,"link":45,"type":37,"slug":12,"title":46},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":48,"link":49,"type":50,"slug":51,"handler":52,"title":53},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":55,"link":56,"type":37,"slug":12,"title":57},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":59,"link":60,"type":37,"slug":12,"title":61},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":63,"link":64,"type":37,"slug":12,"title":65},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":67,"link":68,"type":37,"slug":12,"title":69},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":71,"title":72,"list_order":19,"items":73},2,"المپیادها",[74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114,118,122,126],{"id":75,"link":76,"type":37,"slug":12,"title":77},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":79,"link":80,"type":37,"slug":12,"title":81},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":83,"link":84,"type":37,"slug":12,"title":85},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":87,"link":88,"type":37,"slug":12,"title":89},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":91,"link":92,"type":37,"slug":12,"title":93},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":95,"link":96,"type":37,"slug":12,"title":97},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":99,"link":100,"type":37,"slug":12,"title":101},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":103,"link":104,"type":37,"slug":12,"title":105},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":107,"link":108,"type":37,"slug":12,"title":109},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":111,"link":112,"type":37,"slug":12,"title":113},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":115,"link":116,"type":37,"slug":12,"title":117},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":119,"link":120,"type":37,"slug":12,"title":121},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":123,"link":124,"type":37,"slug":12,"title":125},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":127,"link":128,"type":37,"slug":12,"title":129},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":131,"title":132,"list_order":19,"items":133},3,"نمونه و تیزهوشان",[134,138,143],{"id":135,"link":136,"type":37,"slug":12,"title":137},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":139,"link":140,"type":50,"slug":141,"handler":141,"title":142},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":144,"link":145,"type":50,"slug":146,"handler":146,"title":147},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":149,"title":150,"list_order":19,"items":151},7,"کتابهای درسی",[152,156,160,164],{"id":153,"link":154,"type":37,"slug":12,"title":155},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":157,"link":158,"type":37,"slug":12,"title":159},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":161,"link":162,"type":37,"slug":12,"title":163},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":165,"link":166,"type":37,"slug":12,"title":167},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":35,"title":169,"list_order":35,"items":170},"پیشنهاد ویژه",[171,176,181,186,191,196,201,204,208,212,216],{"id":172,"link":173,"type":50,"slug":174,"handler":174,"title":175},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":177,"link":178,"type":50,"slug":179,"handler":179,"title":180},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":182,"link":183,"type":50,"slug":184,"handler":184,"title":185},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":187,"link":188,"type":50,"slug":189,"handler":189,"title":190},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":192,"link":193,"type":50,"slug":194,"handler":194,"title":195},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":197,"link":198,"type":37,"slug":199,"title":200},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":202,"type":37,"slug":12,"title":203},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":205,"link":206,"type":37,"slug":12,"title":207},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":209,"link":210,"type":37,"slug":12,"title":211},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":213,"link":214,"type":37,"slug":12,"title":215},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":217,"link":218,"type":219,"slug":220,"title":221},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311,319],{"id":231,"title":232,"cat":10,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":26,"update_jalali":238},12463,"نقطه تقاطع نمودار با محور x: نقطه‌ای که نمودار تابع محور x را قطع می‌کند و متناظر با صفر تابع است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Flp8mPVTnbCwBuDbga3iw_200.png","2026-08-31 12:56:30","نقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12463\u002Fنقطه-تقاطع-نمودار-با-محور-x-نقطهای-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-میکند-و-متناظر-با-صفر-تابع-است","1405\u002F06\u002F9",{"id":240,"title":241,"cat":10,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":26,"update_jalali":238},12464,"صفرهای تابع درجه دوم: مقادیری از x که در آن‌ها مقدار تابع درجه دوم صفر می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsDayawGMHn9luVG99WUg_200.png","2026-08-31 12:54:11","صفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12464\u002Fصفرهای-تابع-درجه-دوم-مقادیری-از-x-که-در-آنها-مقدار-تابع-درجه-دوم-صفر-میشود",{"id":248,"title":249,"cat":10,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":26,"update_jalali":238},12465,"تجزیه تابع درجه دوم: نوشتن تابع درجه دوم به صورت حاصل‌ضرب عامل‌های خطی بر اساس صفرهای آن.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Frf3DvGoxbeXxlL2fdE28_200.png","2026-08-31 12:51:00","تجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12465\u002Fتجزیه-تابع-درجه-دوم-نوشتن-تابع-درجه-دوم-به-صورت-حاصلضرب-عاملهای-خطی-بر-اساس-صفرهای-آن",{"id":256,"title":257,"cat":10,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":26,"update_jalali":238},12466,"ضابطه تابع: رابطه یا فرمولی که برای هر ورودی، مقدار تابع را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsLnJAa2du7iQAtRWKzhe_200.png","2026-08-31 12:48:32","ضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12466\u002Fضابطه-تابع-رابطه-یا-فرمولی-که-برای-هر-ورودی-مقدار-تابع-را-تعیین-میکند",{"id":264,"title":265,"cat":10,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":26,"update_jalali":238},12467,"سهمی: نمودار تابع درجه دوم که به شکل منحنی U مانند یا وارونه آن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fm5rwEPuIbBS56GG3brKD_200.png","2026-08-31 12:45:13","سهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12467\u002Fسهمی-نمودار-تابع-درجه-دوم-که-به-شکل-منحنی-U-مانند-یا-وارونه-آن-است",{"id":272,"title":273,"cat":10,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":26,"update_jalali":238},12468,"نقطه روی نمودار: نقطه‌ای که مختصات آن با قرار دادن یک مقدار x در ضابطه تابع و به دست آوردن y حاصل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYJZKdvtHJ3L8LMkn0sIM_200.png","2026-08-31 12:42:32","نقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12468\u002Fنقطه-روی-نمودار-نقطهای-که-مختصات-آن-با-قرار-دادن-یک-مقدار-x-در-ضابطه-تابع-و-به-دست-آوردن-y-حاصل-میشود",{"id":280,"title":281,"cat":10,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":26,"update_jalali":238},12469,"مینیمم تابع: کمترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FjmLcvCLQUzckNnuQlJ8q_200.png","2026-08-31 12:38:38","مینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12469\u002Fمینیمم-تابع-کمترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":288,"title":289,"cat":10,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":26,"update_jalali":238},12470,"ماکزیمم تابع: بیشترین مقدار تابع در یک بازه یا در کل دامنه، در صورتی که وجود داشته باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7hKMNaNQYPh1HEsFQSp6_200.png","2026-08-31 12:36:25","ماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12470\u002Fماکزیمم-تابع-بیشترین-مقدار-تابع-در-یک-بازه-یا-در-کل-دامنه-در-صورتی-که-وجود-داشته-باشد",{"id":296,"title":297,"cat":10,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":26,"update_jalali":238},12471,"ریشه متمایز: ریشه‌هایی که با هم برابر نیستند و دو مقدار متفاوت به دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FzLtawJrDJEifOsWRDuh5_200.png","2026-08-31 12:33:15","ریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12471\u002Fریشه-متمایز-ریشههایی-که-با-هم-برابر-نیستند-و-دو-مقدار-متفاوت-به-دست-میآیند",{"id":304,"title":305,"cat":10,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":26,"update_jalali":238},12472,"ریشه مضاعف: حالتی که معادله درجه دوم دو ریشه برابر دارد و سهمی فقط یک بار محور x را لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FqSf7rPtH1bsEMBI7KRpC_200.png","2026-08-31 12:28:36","ریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12472\u002Fریشه-مضاعف-حالتی-که-معادله-درجه-دوم-دو-ریشه-برابر-دارد-و-سهمی-فقط-یک-بار-محور-x-را-لمس-میکند",{"id":312,"title":313,"cat":10,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":26,"update_jalali":238},12473,"تعداد صفرهای تابع: تعداد نقاطی که نمودار تابع محور x را قطع یا لمس می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F5cYBDDObwSY3Byq4ZtcF_200.png","2026-08-31 12:26:25","تعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12473\u002Fتعداد-صفرهای-تابع-تعداد-نقاطی-که-نمودار-تابع-محور-x-را-قطع-یا-لمس-میکند",{"id":320,"title":321,"cat":10,"pic":322,"up_date":323,"title_url":324,"url":325,"legacy_url":326,"cat_title":26,"update_jalali":238},12474,"علامت a: مثبت یا منفی بودن ضریب x² در تابع درجه دوم که جهت بازشدگی سهمی را تعیین می‌کند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8MR1zPfpVaba6oCMRVyC_200.png","2026-08-31 12:24:32","علامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12474\u002Fعلامت-a-مثبت-یا-منفی-بودن-ضریب-x²-در-تابع-درجه-دوم-که-جهت-بازشدگی-سهمی-را-تعیین-میکند"]