[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-12168":199,"$f3egppz6uixtle":222},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":212,"status":4,"views":213,"subdate":214,"up_date":215,"first_name":216,"last_name":217,"avatar":13,"title_url":218,"cat_title":219,"subdate_jalali":220,"update_jalali":221},12168,1170,1171,4925,"دترمینان ماتریس مربعِ صفر: برابر صفر است.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fw4DS8Y4naHQoXFYhsKFr_800.png","\u003Cdiv aria-label=\"دترمینان ماتریس مربع صفر برابر صفر است\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">چرا دترمینان ماتریس مربع صفر، همواره برابر صفر است؟\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">بررسی گام‌به‌گام ویژگی ماتریس‌های صفر، اثبات جبری، مثال‌های عددی و کاربرد در حل دستگاه معادلات خطی\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان می‌دهیم که دترمینان\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> هر ماتریس مربع صفر (همه درایه‌ها صفر) بدون توجه به مرتبهٔ آن، همیشه برابر صفر است. با استفاده از تعریف بازگشتی دترمینان، خاصیت همگنی و مثال‌های عددی برای ماتریس‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2×2\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3×3\u003C\u002Fspan> این موضوع را اثبات می‌کنیم. همچنین ارتباط این ویژگی با منفرد بودن ماتریس صفر و کاربرد آن در دستگاه‌های معادلات خطی بررسی می‌شود.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. ماتریس مربع صفر: تعریف و ساختار ساده\u003C\u002Fh3>\r\nماتریس مربع صفر، ماتریسی است که همهٔ درایه‌های آن عدد صفر باشند و تعداد سطرها و ستون‌های آن برابر است. چنین ماتریسی را با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$0_{n \\times n}$\u003C\u002Fspan> یا به سادگی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$0$\u003C\u002Fspan> نشان می‌دهند، جایی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> مرتبهٔ ماتریس است. برای درک بهتر، چند نمونه از ماتریس‌های مربع صفر با مرتبه‌های متفاوت را در قالب جدول زیر مقایسه می‌کنیم:\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"نمونه ماتریس‌های مربع صفر\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">مرتبه (n)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">نمایش ماتریس صفر\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعداد درایه‌ها\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$[0]$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">4\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">9\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\nیک مثال عملی: فرض کنید ماتریس صفر مرتبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. اگر این ماتریس را در هر بردار دلخواه ضرب کنیم، بردار صفر حاصل می‌شود. این ویژگی در حل دستگاه‌های معادلات خطی به کار می‌رود، زیرا ماتریس صفر نشان‌دهندهٔ یک تبدیل خطی است که همه چیز را به نقطهٔ مبدا منتقل می‌کند.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. دترمینان ماتریس صفر در مرتبه‌های اول و دوم\u003C\u002Fh3>\r\nبرای اثبات اینکه دترمینان ماتریس مربع صفر برابر صفر است، ابتدا ساده‌ترین حالت‌ها را بررسی می‌کنیم. - برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n=1$\u003C\u002Fspan>، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$[0]$\u003C\u002Fspan> داریم. دترمینان یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1×1\u003C\u002Fspan> برابر خود درایه است، بنابراین:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\det([0]) = 0 $\u003C\u002Fdiv>\r\n- برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n=2$\u003C\u002Fspan>، ماتریس صفر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید. فرمول دترمینان برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2×2\u003C\u002Fspan> به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ad - bc$\u003C\u002Fspan> است. در اینجا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a=0, b=0, c=0, d=0$\u003C\u002Fspan>، بنابراین:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\det\\begin{bmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{bmatrix} = (0)(0) - (0)(0) = 0 - 0 = 0 $\u003C\u002Fdiv>\r\nنتیجه می‌گیریم که در مرتبه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>، دترمینان ماتریس صفر قطعاً صفر است.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>نکته مهم:\u003C\u002Fstrong> دترمینان فقط برای ماتریس‌های مربع تعریف می‌شود. بنابراین ماتریس صفر غیرمربع (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2×3\u003C\u002Fspan>) دترمینان ندارد و بحث ما منحصراً روی ماتریس‌های مربع متمرکز است.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. اثبات با استفاده از بسط بازگشتی (لاپلاس)\u003C\u002Fh3>\r\nبرای مرتبه‌های بالاتر می‌توان از روش بسط بازگشتی دترمینان (بسط لاپلاس) استفاده کرد. طبق این روش، دترمینان یک ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n \\times n$\u003C\u002Fspan> برابر است با مجموع حاصلضرب درایه‌های یک سطر (یا ستون) در کهاد\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>های متناظر آنها با علامت مناسب. برای ماتریس صفر، همهٔ درایه‌ها صفر هستند. اگر بسط را روی سطر اول انجام دهیم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\det(0_{n \\times n}) = \\sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} \\cdot a_{1j} \\cdot M_{1j} $\u003C\u002Fdiv>\r\nکه در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$a_{1j}=0$\u003C\u002Fspan> برای همهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$j$\u003C\u002Fspan>ها. بنابراین هر جملهٔ مجموع صفر است و مجموع نهایی صفر می‌شود. این استدلال برای هر سطر یا ستون دیگری نیز صادق است. به عبارت دیگر، صفر بودن تمام درایه‌های ماتریس مستقیماً باعث صفر شدن دترمینان می‌شود، بدون نیاز به محاسبهٔ کهادها (که خود ممکن است غیرصفر باشند، اما در ضرب در صفر ناپدید می‌شوند).\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. اثبات با استفاده از خاصیت همگنی دترمینان\u003C\u002Fh3>\r\nخاصیت همگنی دترمینان می‌گوید: اگر یک سطر (یا ستون) ماتریس در عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> ضرب شود، دترمینان نیز در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan> ضرب می‌شود. ماتریس صفر را می‌توان حاصل ضرب عدد صفر در یک ماتریس دلخواه (مثلاً ماتریسی که همه درایه‌های آن یک باشد) در نظر گرفت. اما راه ساده‌تر: ماتریس صفر را به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0 \\cdot I_n$\u003C\u002Fspan> بنویسید که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I_n$\u003C\u002Fspan> ماتریس همانی\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> است. دترمینان ماتریس همانی برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$1$\u003C\u002Fspan> است. از آنجا که دترمینان نسبت به ضرب اسکالر در کل ماتریس (یعنی ضرب هر درایه در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c$\u003C\u002Fspan>) برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n \\times n$\u003C\u002Fspan> خاصیت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$c^n$\u003C\u002Fspan> دارد، داریم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\det(0 \\cdot I_n) = 0^n \\cdot \\det(I_n) = 0 \\cdot 1 = 0 $\u003C\u002Fdiv>\r\nبرای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n \\ge 1$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0^n = 0$\u003C\u002Fspan>، بنابراین دترمینان صفر است. این اثبات بسیار سریع و زیباست.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. مثال عددی برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3×3\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fh3>\r\nبرای درک بهتر، ماتریس صفر مرتبه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3\u003C\u002Fspan> را در نظر بگیرید و دترمینان آن را با استفاده از قانون ساروس (برای ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">3×3\u003C\u002Fspan>) محاسبه کنیم:\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\det\\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{bmatrix} $\u003C\u002Fdiv>\r\nبر اساس قانون ساروس، حاصل‌ضرب قطر اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0 \\times 0 \\times 0 = 0)$\u003C\u002Fspan> منهای حاصل‌ضرب قطر فرعی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$(0 \\times 0 \\times 0 = 0)$\u003C\u002Fspan> و سایر جمله‌ها همگی شامل حداقل یک عامل صفر هستند. بنابراین حاصل برابر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$0 - 0 = 0$\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۶. ارتباط با وارون‌پذیری و دستگاه معادلات خطی\u003C\u002Fh3>\r\nیکی از مهم‌ترین کاربردهای دترمینان، تشخیص وارون‌پذیر بودن\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> ماتریس است. یک ماتریس مربع وارون‌پذیر است اگر و تنها اگر دترمینان آن ناصفر باشد. از آنجا که دترمینان ماتریس صفر برابر صفر است، نتیجه می‌گیریم که ماتریس صفر \u003Cstrong>غیر وارون‌پذیر\u003C\u002Fstrong> (یا تکین) است. این یعنی ماتریس صفر معکوس ندارد. در زمینهٔ دستگاه معادلات خطی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A\\mathbf{x} = \\mathbf{b}$\u003C\u002Fspan>، اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A$\u003C\u002Fspan> ماتریس صفر باشد، آنگاه دستگاه به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{0} = \\mathbf{b}$\u003C\u002Fspan> تبدیل می‌شود. این دستگاه تنها زمانی جواب دارد که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{b} = \\mathbf{0}$\u003C\u002Fspan> باشد (دستگاه همگن) که در آن صورت هر بردار \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{x}$\u003C\u002Fspan> جواب است (بینهایت جواب). اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{b} \\neq \\mathbf{0}$\u003C\u002Fspan> باشد، دستگاه ناهماهنگ است و هیچ جوابی ندارد. این رفتار با صفر بودن دترمینان همخوانی کامل دارد.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>فرمول خلاصه:\u003C\u002Fstrong> برای هر مرتبهٔ \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$n \\ge 1$\u003C\u002Fspan>، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\det(0_{n \\times n}) = 0$\u003C\u002Fspan>. این قاعده هیچ استثنایی ندارد.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۷. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۱: آیا ممکن است ماتریس غیرصفر نیز دترمینان صفر داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله، بسیار اتفاق می‌افتد. هر ماتریس مربعی که سطرها یا ستون‌های آن به طور خطی وابسته باشند (یعنی یک سطر ترکیب خطی سطرهای دیگر باشد) دترمینان صفر دارد. برای مثال، ماتریس \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 4 \\end{bmatrix}$\u003C\u002Fspan> دترمینان صفر دارد زیرا سطر دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$2$\u003C\u002Fspan> برابر سطر اول است. بنابراین شرط «دترمینان صفر» معادل «وابستگی خطی سطرها یا ستون‌ها» است، نه فقط صفر بودن همه درایه‌ها.\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۲: اگر یک ماتریس فقط یک سطر صفر داشته باشد (نه همه سطرها)، آیا دترمینان آن صفر می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nبله. وجود حداقل یک سطر یا یک ستون کاملاً صفر باعث می‌شود دترمینان برابر صفر شود. زیرا در بسط لاپلاس روی آن سطر، همه درایه‌ها صفر هستند و مجموع جمله‌ها صفر خواهد شد. ماتریس صفر حالت خاصی است که همه سطرها و ستون‌ها صفر هستند.\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong>پرسش ۳: آیا دترمینان ماتریس صفر می‌تواند در یک دستگاه معادلات غیرخطی معنای خاصی داشته باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\nدر جبر خطی که در دبیرستان تدریس می‌شود، دترمینان عمدتاً برای دستگاه‌های خطی کاربرد دارد. در دستگاه‌های غیرخطی، ماتریس صفر ممکن است به عنوان ماتریس ژاکوبی\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> در یک نقطه ظاهر شود. در آن حالت، صفر بودن دترمینان ژاکوبی نشان‌دهندهٔ رفتار خاص (نقطه بحرانی یا انحطاط) در آن نقطه است. اما اصل پایه همچنان برقرار است: دترمینان صفر یعنی تبدیل خطی وابسته و غیر وارون‌پذیر.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۸. جمع‌بندی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">در این مقاله نشان دادیم که دترمینان هر ماتریس مربع صفر، صرف نظر از مرتبهٔ آن، همیشه برابر صفر است. این نتیجه از تعریف مستقیم دترمینان برای مرتبه‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">1\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">2\u003C\u002Fspan>، از بسط بازگشتی لاپلاس، و از خاصیت همگنی دترمینان به دست آمد. همچنین فهمیدیم که صفر بودن دترمینان به معنای غیر وارون‌پذیر بودن ماتریس است و در دستگاه معادلات خطی، ماتریس صفر یا جواب ناهماهنگ دارد یا بینهایت جواب. این ویژگی یکی از پایه‌های جبر خطی در مقطع دبیرستان است و درک آن برای مطالعهٔ موضوعات پیشرفته‌تر مانند مقدار ویژه\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> و قطری سازی\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> ضروری می‌باشد.\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> دترمینان (Determinant): عددی که از درایه‌های یک ماتریس مربع به روش مشخصی محاسبه می‌شود و اطلاعاتی دربارهٔ وارون‌پذیری و رفتار تبدیل خطی ماتریس می‌دهد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> کهاد (Minor): دترمینان ماتریسی که از حذف یک سطر و یک ستون از ماتریس اصلی به دست می‌آید.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> ماتریس همانی (Identity Matrix): ماتریس مربعی که درایه‌های قطر اصلی آن یک و بقیه درایه‌ها صفر است. با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$I_n$\u003C\u002Fspan> نشان داده می‌شود.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> وارون‌پذیر (Invertible): ماتریسی که دارای ماتریس معکوس باشد. شرط لازم و کافی برای وارون‌پذیری، ناصفر بودن دترمینان است.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> ماتریس ژاکوبی (Jacobian Matrix): ماتریسی شامل مشتقات جزئی توابع چندمتغیره که در آنالیز و بهینه‌سازی کاربرد دارد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> مقدار ویژه (Eigenvalue): عددی مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\lambda$\u003C\u002Fspan> که برای آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$A\\mathbf{v} = \\lambda \\mathbf{v}$\u003C\u002Fspan> با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">$\\mathbf{v} \\neq \\mathbf{0}$\u003C\u002Fspan> وجود داشته باشد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> قطری سازی (Diagonalization): فرایند یافتن ماتریس قطری مشابه با یک ماتریس مربع که محاسبات را ساده‌تر می‌کند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[209,210,211],"پایهٔ دوازدهم","هندسه دوازدهم","دترمینان ماتریس مربعِ صفر",0,354,"2026-04-21 12:09:02","2026-08-22 15:13:32","سحر","شیرزاد","دترمینان-ماتریس-مربع-صفر-برابر-صفر-است","کپسول آموزشی","1405\u002F02\u002F1","15:13 1405\u002F05\u002F31",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,264,272,280,288,296,304,312,320],{"id":231,"title":232,"cat":205,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":219,"update_jalali":238},12146,"ماتریس همانی (I یا In): ماتریس مربعی که روی قطر اصلی 1 و درایه‌های دیگر 0 است و عضو خنثی ضرب ماتریس‌هاست.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHO2OY2jMEIIhcKB9dEBj_200.png","2026-08-24 15:41:07","ماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12146\u002Fماتریس-همانی-I-یا-In-ماتریس-مربعی-که-روی-قطر-اصلی-1-و-درایههای-دیگر-0-است-و-عضو-خنثی-ضرب-ماتریسهاست","1405\u002F06\u002F2",{"id":240,"title":241,"cat":205,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":219,"update_jalali":238},12152,"شرط وجود وارون (شرط وارون‌پذیری): برای اینکه A^-1 وجود داشته باشد باید |A|≠0 باشد؛ اگر |A|=0 باشد وارون وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FlIHXa8luNtBVAeHHK9gC_200.png","2026-08-24 15:31:13","شرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12152\u002Fشرط-وجود-وارون-شرط-وارونپذیری-برای-اینکه-A-1-وجود-داشته-باشد-باید-A0-باشد-اگر-A0-باشد-وارون-وجود-ندارد",{"id":248,"title":249,"cat":205,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":219,"update_jalali":238},12160,"دستگاه ناسازگار (بدون جواب): وقتی دو خط موازیِ متمایز باشند؛ در نگاه ماتریسی معمولاً |A|=0 و شرایط ثابت‌ها طوری است که نقطهٔ مشترک وجود ندارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FZFswJRmEaNrsJK91UMT8_200.png","2026-08-24 15:15:34","دستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12160\u002Fدستگاه-ناسازگار-بدون-جواب-وقتی-دو-خط-موازی-متمایز-باشند-در-نگاه-ماتریسی-معمولا-A0-و-شرایط-ثابتها-طوری-است-که-نقطه-مشترک-وجود-ندارد",{"id":256,"title":257,"cat":205,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":219,"update_jalali":263},12054,"ماتریس: هر آرایش مستطیلی از اعداد حقیقی که از تعدادی سطر و ستون تشکیل شده باشد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FCyH6F8um7hxbFOh8NwJp_200.png","2026-08-22 21:41:37","ماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12054\u002Fماتریس-هر-آرایش-مستطیلی-از-اعداد-حقیقی-که-از-تعدادی-سطر-و-ستون-تشکیل-شده-باشد","1405\u002F05\u002F31",{"id":265,"title":266,"cat":205,"pic":267,"up_date":268,"title_url":269,"url":270,"legacy_url":271,"cat_title":219,"update_jalali":263},12055,"درایهٔ ماتریس: هر عدد حقیقیِ قرارگرفته در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F9vpUNpXsvaSlSGLjPM7r_200.png","2026-08-22 21:40:00","درایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12055\u002Fدرایه-ماتریس-هر-عدد-حقیقی-قرارگرفته-در-یک-ماتریس",{"id":273,"title":274,"cat":205,"pic":275,"up_date":276,"title_url":277,"url":278,"legacy_url":279,"cat_title":219,"update_jalali":263},12056,"سطر و ستون ماتریس: ردیف افقی و عمودی عناصر (درایه‌ها) در یک ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fd4ccWiSZS1hvCAicia99_200.png","2026-08-22 21:38:30","سطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12056\u002Fسطر-و-ستون-ماتریس-ردیف-افقی-و-عمودی-عناصر-درایهها-در-یک-ماتریس",{"id":281,"title":282,"cat":205,"pic":283,"up_date":284,"title_url":285,"url":286,"legacy_url":287,"cat_title":219,"update_jalali":263},12057,"مرتبهٔ ماتریس (m×n): تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس؛ اگر ماتریس m سطر و n ستون داشته باشد، مرتبهٔ آن m×n است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FHLx6GW4ccIuuUGfxgXQx_200.png","2026-08-22 21:36:51","مرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12057\u002Fمرتبه-ماتریس-mn-تعداد-سطرها-و-ستونهای-ماتریس-اگر-ماتریس-m-سطر-و-n-ستون-داشته-باشد-مرتبه-آن-mn-است",{"id":289,"title":290,"cat":205,"pic":291,"up_date":292,"title_url":293,"url":294,"legacy_url":295,"cat_title":219,"update_jalali":263},12058,"دستگاه معادلات: مجموعه‌ای از چند معادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و معمولاً برای یافتن مقادیر مجهول‌ها حل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FEeFtslvSqFgghaNmBX5o_200.png","2026-08-22 21:33:48","دستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12058\u002Fدستگاه-معادلات-مجموعهای-از-چند-معادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-معمولا-برای-یافتن-مقادیر-مجهولها-حل-میشود",{"id":297,"title":298,"cat":205,"pic":299,"up_date":300,"title_url":301,"url":302,"legacy_url":303,"cat_title":219,"update_jalali":263},12059,"دستگاه نامعادلات: مجموعه‌ای از چند نامعادله که باید هم‌زمان برقرار باشند و جواب آن مجموعه‌ای از مقادیر ممکن است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FKwLUm5NEHXLEWqbsAf5m_200.png","2026-08-22 21:31:30","دستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12059\u002Fدستگاه-نامعادلات-مجموعهای-از-چند-نامعادله-که-باید-همزمان-برقرار-باشند-و-جواب-آن-مجموعهای-از-مقادیر-ممکن-است",{"id":305,"title":306,"cat":205,"pic":307,"up_date":308,"title_url":309,"url":310,"legacy_url":311,"cat_title":219,"update_jalali":263},12060,"تعمیم: گسترش یک الگو یا نتیجه از حالت‌های خاص به حالت‌های کلی‌تر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F85yS4UtNCzL5Ryquxtzf_200.png","2026-08-22 21:29:58","تعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12060\u002Fتعمیم-گسترش-یک-الگو-یا-نتیجه-از-حالتهای-خاص-به-حالتهای-کلیتر",{"id":313,"title":314,"cat":205,"pic":315,"up_date":316,"title_url":317,"url":318,"legacy_url":319,"cat_title":219,"update_jalali":263},12061,"مقاطع مخروطی: منحنی‌هایی که از برش دادن یک مخروط به‌دست می‌آیند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGAdfKPxq5mWGavBxYt4C_200.png","2026-08-22 21:28:07","مقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12061\u002Fمقاطع-مخروطی-منحنیهایی-که-از-برش-دادن-یک-مخروط-بهدست-میآیند",{"id":321,"title":322,"cat":205,"pic":323,"up_date":324,"title_url":325,"url":326,"legacy_url":327,"cat_title":219,"update_jalali":263},12062,"مکان هندسی: مجموعهٔ همهٔ نقاطی که یک ویژگی یا شرط هندسی مشخص را داشته باشند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F0t0y8haqNG18E6sFnt6V_200.png","2026-08-22 21:26:19","مکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F12062\u002Fمکان-هندسی-مجموعه-همه-نقاطی-که-یک-ویژگی-یا-شرط-هندسی-مشخص-را-داشته-باشند"]