[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"categoryMenus":3,"blogPost-11752":199,"$f3qophloa3enww":222},{"status":4,"data":5},1,[6,46,106,124,144],{"id":4,"title":7,"list_order":4,"items":8},"آشنایی",[9,15,19,23,30,34,38,42],{"id":10,"link":11,"type":12,"slug":13,"title":14},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content",null,"قوانین و مقررات",{"id":16,"link":17,"type":12,"slug":13,"title":18},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":20,"link":21,"type":12,"slug":13,"title":22},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":24,"link":25,"type":26,"slug":27,"handler":28,"title":29},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":31,"link":32,"type":12,"slug":13,"title":33},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":35,"link":36,"type":12,"slug":13,"title":37},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":39,"link":40,"type":12,"slug":13,"title":41},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":43,"link":44,"type":12,"slug":13,"title":45},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":47,"title":48,"list_order":4,"items":49},2,"المپیادها",[50,54,58,62,66,70,74,78,82,86,90,94,98,102],{"id":51,"link":52,"type":12,"slug":13,"title":53},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":55,"link":56,"type":12,"slug":13,"title":57},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":59,"link":60,"type":12,"slug":13,"title":61},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":63,"link":64,"type":12,"slug":13,"title":65},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":67,"link":68,"type":12,"slug":13,"title":69},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":71,"link":72,"type":12,"slug":13,"title":73},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":75,"link":76,"type":12,"slug":13,"title":77},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":79,"link":80,"type":12,"slug":13,"title":81},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":83,"link":84,"type":12,"slug":13,"title":85},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":87,"link":88,"type":12,"slug":13,"title":89},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":91,"link":92,"type":12,"slug":13,"title":93},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":95,"link":96,"type":12,"slug":13,"title":97},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":99,"link":100,"type":12,"slug":13,"title":101},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":103,"link":104,"type":12,"slug":13,"title":105},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":107,"title":108,"list_order":4,"items":109},3,"نمونه و تیزهوشان",[110,114,119],{"id":111,"link":112,"type":12,"slug":13,"title":113},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":115,"link":116,"type":26,"slug":117,"handler":117,"title":118},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":120,"link":121,"type":26,"slug":122,"handler":122,"title":123},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":125,"title":126,"list_order":4,"items":127},7,"کتابهای درسی",[128,132,136,140],{"id":129,"link":130,"type":12,"slug":13,"title":131},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":133,"link":134,"type":12,"slug":13,"title":135},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":137,"link":138,"type":12,"slug":13,"title":139},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":141,"link":142,"type":12,"slug":13,"title":143},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":10,"title":145,"list_order":10,"items":146},"پیشنهاد ویژه",[147,152,157,162,167,172,177,181,185,189,193],{"id":148,"link":149,"type":26,"slug":150,"handler":150,"title":151},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":153,"link":154,"type":26,"slug":155,"handler":155,"title":156},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":158,"link":159,"type":26,"slug":160,"handler":160,"title":161},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":163,"link":164,"type":26,"slug":165,"handler":165,"title":166},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":168,"link":169,"type":26,"slug":170,"handler":170,"title":171},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":173,"link":174,"type":12,"slug":175,"title":176},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":178,"link":179,"type":12,"slug":13,"title":180},67,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":182,"link":183,"type":12,"slug":13,"title":184},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":186,"link":187,"type":12,"slug":13,"title":188},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":190,"link":191,"type":12,"slug":13,"title":192},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":194,"link":195,"type":196,"slug":197,"title":198},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی",{"id":200,"section":178,"base":201,"course":202,"lesson":203,"title":204,"cat":205,"pic":206,"info_graphic":13,"podcast":13,"body":207,"tags":208,"metadata":13,"featured":212,"status":4,"views":213,"subdate":214,"up_date":215,"first_name":216,"last_name":217,"avatar":13,"title_url":218,"cat_title":219,"subdate_jalali":220,"update_jalali":221},11752,1169,1171,3860,"معیار پراکندگی: عددی که میزان پخش‌شدگی داده‌ها را نشان می‌دهد.",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F11752dMaebp70GdfEIwNVhB5D_800.png","\u003Cdiv id=\"microecon-article\" dir=\"rtl\" role=\"article\" aria-label=\"معیار پراکندگی: عددی که میزان پخش‌شدگی داده‌ها را نشان می‌دهد\" style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; max-width: 980px; margin: 16px auto; padding: 16px; background: #ffffff; font-family: IRANSans, Tahoma, Arial, sans-serif; color: #667085; line-height: 1.8; word-break: break-word; : \">\r\n\r\n\u003Ch2 style=\"margin: 0 0 6px 0; font-size: 22px; font-weight: 800; color: #344054; : \">معیار پراکندگی: عددی که میزان پخش‌شدگی داده‌ها را نشان می‌دهد\u003C\u002Fh2>\r\n\u003Cdiv style=\"margin-top: 4px; font-size: 13px; opacity: .95; color: #667085; : \">آشنایی با دامنه‌ی تغییرات، واریانس و انحراف معیار به زبان ساده و با مثال‌های روزمره\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 14px 0 16px 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #ffb600; border-radius: 12px; background: #fff8e1; color: #667085; : \">\r\nپراکنش داده‌ها یکی از مفاهیم پایه‌ای در آمار است که به ما می‌گوید مشاهدات تا چه اندازه از یکدیگر فاصله دارند. در این مقاله با سه معیار مهم پراکندگی یعنی دامنه‌ی تغییرات، واریانس و انحراف معیار آشنا می‌شوید. یاد می‌گیرید که چگونه این معیارها را محاسبه کنید و تفاوت آن‌ها با شاخص‌های مرکزی مانند میانگین را درک کنید. مثال‌های عملی از زندگی روزمره، مانند مقایسه‌ی دمای هوا یا نمرات دانش‌آموزان، درک این مفاهیم را برای شما آسان‌تر خواهد کرد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">دامنه‌ی تغییرات (Range): ساده‌ترین معیار پراکندگی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nساده‌ترین راه برای فهمیدن میزان پراکندگی داده‌ها، محاسبه‌ی \u003Cstrong>دامنه‌ی تغییرات\u003C\u002Fstrong> است. این معیار فقط از دو مقدار استفاده می‌کند: بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده. کافی است کوچک‌ترین مقدار را از بزرگ‌ترین مقدار کم کنید. هر چه این عدد بزرگ‌تر باشد، یعنی داده‌ها پراکنده‌تر هستند و هر چه کوچک‌تر باشد، یعنی داده‌ها به یکدیگر نزدیک‌ترند.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nبرای مثال، دمای هوای یک شهر را در یک هفته در نظر بگیرید: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">22، 25، 23، 28، 30، 24، 26\u003C\u002Fspan> درجه‌ی سلسیوس. بزرگ‌ترین دما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">30\u003C\u002Fspan> و کوچک‌ترین دما \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">22\u003C\u002Fspan> است. دامنه‌ی تغییرات برابر است با \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">30 - 22 = 8\u003C\u002Fspan> درجه. در مقابل، دمای هفته‌ی بعد را با داده‌های \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">24، 25، 24، 26، 25، 24، 26\u003C\u002Fspan> در نظر بگیرید. دامنه‌ی تغییرات در این هفته \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">26 - 24 = 2\u003C\u002Fspan> درجه است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید، دمای هفته‌ی دوم به هم نزدیک‌تر و پایدارتر بوده است.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>فرمول دامنه‌ی تغییرات:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$Range = Max - Min$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>نکته:\u003C\u002Fstrong> دامنه به شدت تحت تأثیر مقادیر پرت (Outliers) قرار می‌گیرد. اگر یک داده خیلی بزرگ یا خیلی کوچک داشته باشیم، دامنه عدد بزرگی نشان می‌دهد که ممکن است تصویر درستی از کل داده‌ها ارائه ندهد.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">واریانس (Variance): میانگین مجذور فاصله‌ها از میانگین\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nواریانس یک معیار پیشرفته‌تر است که در محاسبه‌ی آن، فاصله‌ی همه‌ی داده‌ها از میانگین در نظر گرفته می‌شود. برای محاسبه‌ی واریانس، ابتدا میانگین داده‌ها را پیدا می‌کنیم. سپس برای هر داده، فاصله‌اش تا میانگین را محاسبه کرده و آن را به توان دو می‌رسانیم. در نهایت، میانگین این مجذور فاصله‌ها را به‌دست می‌آوریم. دلیل توان دو رساندن، این است که مجموع فاصله‌های منفی و مثبت هم‌دیگر را خنثی نکنند و همه‌ی فاصله‌ها به عنوان مقدار مثبت در محاسبه مشارکت داشته باشند.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nبه نمرات دو دانش‌آموز در \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">5\u003C\u002Fspan> درس توجه کنید. نمرات دانش‌آموز الف: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">18، 19، 18، 20، 20\u003C\u002Fspan> و دانش‌آموز ب: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">10، 15، 20، 25، 15\u003C\u002Fspan>. میانگین نمرات هر دو دانش‌آموز \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">19\u003C\u002Fspan> است. اما واریانس نمرات الف بسیار کوچک‌تر از واریانس نمرات ب است، زیرا نمرات الف به میانگین خود بسیار نزدیک‌تر هستند و پراکندگی کمی دارند. در مقابل، نمرات ب از میانگین خود فاصله‌های زیادی دارند.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>فرمول واریانس (برای جامعه):\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sigma^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{N} (x_i - \\mu)^2}{N}$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\n\u003Cstrong>فرمول واریانس (برای نمونه):\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$s^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2}{n-1}$\u003C\u002Fspan>\u003Cbr>\r\nکه در آن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$x_i$\u003C\u002Fspan> داده‌ها، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\mu$\u003C\u002Fspan> میانگین جامعه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$\\bar{x}$\u003C\u002Fspan> میانگین نمونه، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$N$\u003C\u002Fspan> حجم جامعه و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">$n$\u003C\u002Fspan> حجم نمونه است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">انحراف معیار (Standard Deviation): پلی به سوی درک ساده‌تر\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nانحراف معیار که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sigma$\u003C\u002Fspan> (سیگما) برای جامعه و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$s$\u003C\u002Fspan> برای نمونه نمایش داده می‌شود، در واقع جذر واریانس است. دلیل این کار این است که واحد واریانس، مربع واحد داده‌هاست (مثلاً اگر داده‌ها بر حسب متر باشند، واریانس بر حسب متر مربع خواهد بود). با گرفتن جذر، واحد داده‌ها به حالت اولیه بازمی‌گردد و تفسیر آن آسان‌تر می‌شود.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nبه مثال نمرات دانش‌آموزان بازگردیم. اگر واریانس نمرات دانش‌آموز ب را محاسبه کنیم و سپس از آن جذر بگیریم، انحراف معیار به‌دست می‌آید. این عدد به ما می‌گوید که به طور میانگین، نمرات این دانش‌آموز چقدر از میانگین (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">19\u003C\u002Fspan>) فاصله دارند. هر چه انحراف معیار بزرگ‌تر باشد، داده‌ها از میانگین دورترند و پراکندگی بیشتر است.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 0 0 16px 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fff7e6; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; : \">\r\n\u003Cstrong>فرمول انحراف معیار:\u003C\u002Fstrong>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}$\u003C\u002Fspan> برای جامعه و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$s = \\sqrt{s^2}$\u003C\u002Fspan> برای نمونه.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">مقایسه‌ی کاربردی معیارهای پراکندگی در زندگی روزمره\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 12px 0; color: #667085; : \">\r\nبرای درک بهتر، فرض کنید دو فروشنده‌ی سیب داریم. فروشنده‌ی اول همیشه سیب‌هایی با وزن تقریباً یکسان (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">150\u003C\u002Fspan> گرم) به شما می‌فروشد، اما فروشنده‌ی دوم گاهی سیب‌های خیلی کوچک (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">80\u003C\u002Fspan> گرم) و گاهی خیلی بزرگ (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; : \">220\u003C\u002Fspan> گرم) به شما می‌دهد. میانگین وزن سیب‌های هر دو فروشنده ممکن است یکسان باشد، اما انحراف معیار وزن سیب‌های فروشنده‌ی اول کم و فروشنده‌ی دوم زیاد خواهد بود. این اطلاعات به شما کمک می‌کند تا انتخاب کنید که یکنواختی محصول برایتان مهم است یا خیر. در صنعت، برای کنترل کیفیت، انحراف معیار یک ابزار حیاتی است. هر چه انحراف معیار یک محصول کمتر باشد، کیفیت آن یکنواخت‌تر و قابل اعتمادتر است.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv role=\"region\" aria-label=\"جدول مقایسه معیارهای پراکندگی\" style=\"box-sizing: border-box; margin: 8px 0 16px 0; padding: 0; border: 1px solid #e5e7eb; border-radius: 12px; overflow: auto; -webkit-overflow-scrolling: touch; : \">\r\n\u003Ctable style=\"box-sizing: border-box; width: 100%; min-width: 600px; border-collapse: collapse; : \">\r\n\u003Cthead>\r\n\u003Ctr>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">معیار پراکندگی\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">تعریف ساده\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">واحد اندازه‌گیری\u003C\u002Fth>\r\n\u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">حساسیت به داده‌ی پرت\u003C\u002Fth>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Fthead>\r\n\u003Ctbody>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">دامنه‌ی تغییرات\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">فاصله‌ی بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین داده\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثل داده‌ها (سانتی‌متر، کیلوگرم، ...)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">خیلی زیاد\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">واریانس\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">میانگین مجذور فاصله‌ی داده‌ها از میانگین\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">واحد داده‌ها به توان دو\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">زیاد\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">انحراف معیار\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">جذر واریانس، میانگین فاصله‌ی داده‌ها از میانگین\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">مثل داده‌ها (سانتی‌متر، کیلوگرم، ...)\u003C\u002Ftd>\r\n\u003Ctd style=\"box-sizing: border-box; padding: 10px 12px; border-bottom: 1px solid #edf2f7; text-align: right; color: #667085; : \">\u003Cspan style=\"border-radius: 999px; padding: 2px 8px; font-size: 12px; font-weight: 700; line-height: 1; vertical-align: baseline; background: #fee2e2; color: #991b1b; : \">زیاد\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n\u003C\u002Ftr>\r\n\u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">چالش‌های مفهومی در درک پراکندگی داده‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 10px 0 0 0; padding: 12px 14px; border: 1px solid #e2e8f0; border-radius: 12px; background: #f8fafc; : \">\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0; color: #667085; : \">\u003Cstrong>چالش اول: آیا دو مجموعه داده با میانگین یکسان می‌توانند پراکندگی متفاوتی داشته باشند؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0 12px 0; color: #667085; : \">بله، دقیقاً. میانگین فقط مرکز داده‌ها را نشان می‌دهد و هیچ اطلاعاتی درباره‌ی نحوه‌ی پخش شدن آن‌ها نمی‌دهد. دو مجموعه می‌توانند میانگین یکسانی داشته باشند، اما یکی همه‌ی داده‌هایش دور میانگین متمرکز باشد (پراکندگی کم) و دیگری داده‌هایش در دو سمت میانگین پخش شده باشند (پراکندگی زیاد). مثال نمرات دانش‌آموزان در این مقاله، گویای این تفاوت است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0; color: #667085; : \">\u003Cstrong>چالش دوم: چرا در فرمول واریانس نمونه، بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$(n-1)$\u003C\u002Fspan> تقسیم می‌کنیم، نه بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n$\u003C\u002Fspan>؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0 12px 0; color: #667085; : \">این کار برای جبران خطای برآورد انجام می‌شود. وقتی ما از یک نمونه (بخشی از جامعه) می‌خواهیم واریانس کل جامعه را تخمین بزنیم، تقسیم بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$n-1$\u003C\u002Fspan> (که به آن درجه‌ی آزادی می‌گویند) باعث می‌شود تخمین ما دقیق‌تر و بدون سوگیری (Bias) باشد. در محاسبه‌ی واریانس خود داده‌های یک جامعه‌ی کامل، از تقسیم بر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline; unicode-bidi: isolate; white-space: nowrap; : \">$N$\u003C\u002Fspan> استفاده می‌کنیم.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0; color: #667085; : \">\u003Cstrong>چالش سوم: آیا انحراف معیار می‌تواند منفی باشد؟\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0 0px 0; color: #667085; : \">خیر. انحراف معیار از جذر واریانس به‌دست می‌آید. واریانس خود مجموع مربعات است و همیشه مقداری نامنفی (صفر یا بزرگتر از صفر) دارد. جذر یک عدد نامنفی نیز همواره نامنفی است. اگر همه‌ی داده‌ها با هم برابر باشند، انحراف معیار صفر می‌شود (یعنی هیچ پراکندگی‌ای وجود ندارد). در غیر این صورت، انحراف معیار یک عدد مثبت است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"margin: 16px 0 0 0; padding: 12px 14px; border-radius: 12px; background: #fffdf3; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; : \">\r\n\u003Cstrong>نتیجه‌گیری:\u003C\u002Fstrong> معیارهای پراکندگی ابزارهای قدرتمندی برای توصیف داده‌ها هستند که فراتر از میانگین عمل می‌کنند. در حالی که میانگین تصویری از مرکز داده‌ها ارائه می‌دهد، معیارهایی مانند دامنه‌ی تغییرات، واریانس و انحراف معیار به ما می‌گویند که داده‌ها حول آن مرکز چگونه توزیع شده‌اند. درک این مفاهیم برای تحلیل داده‌ها در علوم مختلف، از فیزیک و اقتصاد گرفته تا روانشناسی و پزشکی، ضروری است.\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"margin: 16px 0 8px 0; padding: 0 0 6px 0; border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; : \">پاورقی\u003C\u002Fh3>\r\n\u003Cp style=\"margin: 4px 0; color: #667085; : \">\r\n\u003Csup>1\u003C\u002Fsup> معیار پراکندگی (Measure of Dispersion): معیاری که پراکندگی یا تغییرپذیری مقادیر در یک مجموعه داده را کمّی می‌کند.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>2\u003C\u002Fsup> دامنه‌ی تغییرات (Range): تفاوت بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین مقدار در یک مجموعه داده.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>3\u003C\u002Fsup> میانگین (Mean یا Average): حاصل جمع همه‌ی مقادیر تقسیم بر تعداد آن‌ها.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>4\u003C\u002Fsup> داده‌ی پرت (Outlier): مقداری که به طور قابل ملاحظه‌ای از سایر داده‌ها فاصله دارد و می‌تواند نتایج آماری را تحت تأثیر قرار دهد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>5\u003C\u002Fsup> واریانس (Variance): میانگین مجذور انحرافات داده‌ها از میانگین آن‌ها.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>6\u003C\u002Fsup> انحراف معیار (Standard Deviation): جذر واریانس که پراکندگی داده‌ها را در واحد اصلی داده‌ها نشان می‌دهد.\u003Cbr>\r\n\u003Csup>7\u003C\u002Fsup> درجه‌ی آزادی (Degrees of Freedom): تعداد مقادیری در محاسبه‌ی نهایی یک آماره که آزادند تغییر کنند.\r\n\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003C\u002Fdiv>",[209,210,211],"پایهٔ یازدهم","آمار و احتمال یازدهم","معیار پراکندگی",0,116,"2026-02-25 13:38:58","2026-02-25 14:13:21","سحر","شیرزاد","معیار-پراکندگی-عددی-که-میزان-پخششدگی-دادهها-را-نشان-میدهد","کپسول آموزشی","1404\u002F12\u002F6","14:13 1404\u002F12\u002F6",{"tests":223,"papers":224,"files":225,"questions":226,"exams":227,"tutorials":228,"blogs":229},[],[],[],[],[],[],[230,239,247,255,263,271,279,287,295,303,311,319],{"id":231,"title":232,"cat":205,"pic":233,"up_date":234,"title_url":235,"url":236,"legacy_url":237,"cat_title":219,"update_jalali":238},11453,"گزاره: جملهٔ خبری که فقط یکی از دو حالتِ درست یا نادرست را دارد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FGJhX352uQ2imvdQMqQFN_200.png","2026-09-01 13:03:24","گزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11453\u002Fگزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11453\u002Fگزاره-جمله-خبری-که-فقط-یکی-از-دو-حالت-درست-یا-نادرست-را-دارد","1405\u002F06\u002F10",{"id":240,"title":241,"cat":205,"pic":242,"up_date":243,"title_url":244,"url":245,"legacy_url":246,"cat_title":219,"update_jalali":238},11454,"ارزش گزاره: درست یا نادرست بودنِ یک گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fl1CfINrCA7LnA4icdJD3_200.png","2026-09-01 13:00:16","ارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11454\u002Fارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11454\u002Fارزش-گزاره-درست-یا-نادرست-بودن-یک-گزاره",{"id":248,"title":249,"cat":205,"pic":250,"up_date":251,"title_url":252,"url":253,"legacy_url":254,"cat_title":219,"update_jalali":238},11472,"نماد درست (T یا د) و نماد نادرست (F یا ن): نشانه‌ای برای نمایش ارزش درستِ گزاره و نشانه‌ای برای نمایش ارزش نادرستِ گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJujDWd3FtoYmYh9iOmNW_200.png","2026-09-01 12:52:19","نماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11472\u002Fنماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11472\u002Fنماد-درست-T-یا-د-و-نماد-نادرست-F-یا-ن-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-درست-گزاره-و-نشانهای-برای-نمایش-ارزش-نادرست-گزاره",{"id":256,"title":257,"cat":205,"pic":258,"up_date":259,"title_url":260,"url":261,"legacy_url":262,"cat_title":219,"update_jalali":238},11474,"جدول ارزش: جدولی که ارزش گزاره‌ها و ترکیب‌های آن‌ها را در همه حالت‌های ممکن نشان می‌دهد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FbSElQszLLJTvjkR2VKUa_200.png","2026-09-01 12:48:17","جدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11474\u002Fجدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11474\u002Fجدول-ارزش-جدولی-که-ارزش-گزارهها-و-ترکیبهای-آنها-را-در-همه-حالتهای-ممکن-نشان-میدهد",{"id":264,"title":265,"cat":205,"pic":266,"up_date":267,"title_url":268,"url":269,"legacy_url":270,"cat_title":219,"update_jalali":238},11477,"نقیض گزاره: گزاره‌ای که ارزش آن برعکسِ ارزش گزارهٔ اصلی است.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FeAQJ7MCq9WNrohlBrXin_200.png","2026-09-01 12:42:57","نقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11477\u002Fنقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11477\u002Fنقیض-گزاره-گزارهای-که-ارزش-آن-برعکس-ارزش-گزاره-اصلی-است",{"id":272,"title":273,"cat":205,"pic":274,"up_date":275,"title_url":276,"url":277,"legacy_url":278,"cat_title":219,"update_jalali":238},11479,"نماد نقیض (∼ یا ¬): علامتی که نقیض یک گزاره را نشان می‌دهد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FsCXYJtUCMVriciBJX9P6_200.png","2026-09-01 12:41:29","نماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11479\u002Fنماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11479\u002Fنماد-نقیض-یا-علامتی-که-نقیض-یک-گزاره-را-نشان-میدهد",{"id":280,"title":281,"cat":205,"pic":282,"up_date":283,"title_url":284,"url":285,"legacy_url":286,"cat_title":219,"update_jalali":238},11481,"هم ارز (هم‌ارزش): دو گزاره‌ای که در همه حالت‌ها ارزش یکسان دارند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F4livPgGCHVFOm3DI9AQC_200.png","2026-09-01 12:36:33","هم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11481\u002Fهم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11481\u002Fهم-ارز-همارزش-دو-گزارهای-که-در-همه-حالتها-ارزش-یکسان-دارند",{"id":288,"title":289,"cat":205,"pic":290,"up_date":291,"title_url":292,"url":293,"legacy_url":294,"cat_title":219,"update_jalali":238},11483,"هم ارزی منطقی: رابطه‌ای که نشان می‌دهد دو گزاره در همه حالت‌ها هم‌ارز هستند.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYkOgMioT4nrjvCW0bECA_200.png","2026-09-01 12:34:37","هم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11483\u002Fهم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11483\u002Fهم-ارزی-منطقی-رابطهای-که-نشان-میدهد-دو-گزاره-در-همه-حالتها-همارز-هستند",{"id":296,"title":297,"cat":205,"pic":298,"up_date":299,"title_url":300,"url":301,"legacy_url":302,"cat_title":219,"update_jalali":238},11485,"گزاره نما: جملهٔ خبریِ دارای متغیر که با جایگذاری مقدار، به گزاره تبدیل می‌شود.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPCMx6d5PWVxaXRKeVryT_200.png","2026-09-01 12:32:33","گزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11485\u002Fگزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11485\u002Fگزاره-نما-جمله-خبری-دارای-متغیر-که-با-جایگذاری-مقدار-به-گزاره-تبدیل-میشود",{"id":304,"title":305,"cat":205,"pic":306,"up_date":307,"title_url":308,"url":309,"legacy_url":310,"cat_title":219,"update_jalali":238},11488,"متغیر: نمادی مانند x که می‌تواند به جای آن مقادیر مختلف قرار گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F8d2ubEMmx4QOI43UL5u1_200.png","2026-09-01 12:30:25","متغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11488\u002Fمتغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11488\u002Fمتغیر-نمادی-مانند-x-که-میتواند-به-جای-آن-مقادیر-مختلف-قرار-گیرد",{"id":312,"title":313,"cat":205,"pic":314,"up_date":315,"title_url":316,"url":317,"legacy_url":318,"cat_title":219,"update_jalali":238},11490,"دامنهٔ متغیر: مجموعهٔ مقادیری که مجاز است به جای متغیر در گزاره‌نما قرار گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FdHZmxOHdnu6iIkUPGUPJ_200.png","2026-09-01 12:26:11","دامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11490\u002Fدامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11490\u002Fدامنه-متغیر-مجموعه-مقادیری-که-مجاز-است-به-جای-متغیر-در-گزارهنما-قرار-گیرد",{"id":320,"title":321,"cat":205,"pic":322,"up_date":323,"title_url":324,"url":325,"legacy_url":326,"cat_title":219,"update_jalali":238},11491,"مجموعهٔ جواب: مجموعهٔ اعضای دامنه که با جایگذاری آن‌ها، گزاره‌نما ارزش درست می‌گیرد.","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FXMPNwI33OLiO6yJT8Yna_200.png","2026-09-01 12:24:06","مجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11491\u002Fمجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11491\u002Fمجموعه-جواب-مجموعه-اعضای-دامنه-که-با-جایگذاری-آنها-گزارهنما-ارزش-درست-میگیرد"]