[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"blogPost-11261":3,"$f1pp5eznvmqr9p":29,"categoryMenus":133},{"id":4,"section":5,"base":6,"course":7,"lesson":8,"title":9,"cat":10,"pic":11,"info_graphic":12,"podcast":12,"body":13,"tags":14,"metadata":12,"featured":18,"status":19,"views":20,"subdate":21,"up_date":22,"first_name":23,"last_name":24,"avatar":12,"title_url":25,"cat_title":26,"subdate_jalali":27,"update_jalali":28},11261,67,1168,1182,2582,"قاعده ریشه nامِ حاصل‌ضرب: برای n زوج با a,b≥0 و برای n فرد با a,b دلخواه، داریم ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)",14098,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2wyRtSBm4M7s2Hr7joyj_800.png",null,"\u003Cdiv aria-label=\"قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب\" dir=\"rtl\" id=\"microecon-article\" role=\"article\" style=\"background: #ffffff; box-sizing: border-box; color: #667085; font-family: IRANSans,Tahoma,Arial,sans-serif; line-height: 1.8; max-width: 980px; padding: 16px; width: 100%; word-break: break-word\">\r\n\u003Ch2 style=\"color: #344054; font-size: 22px; font-weight: 800\">قاعده ریشه nامِ حاصل‌ضرب: از تعریف تا کاربرد\u003C\u002Fh2>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"color: #667085; font-size: 13px; margin-top: 4px; opacity: .95\">ریشه‌گیری از ضرب دو عدد، با ضرب ریشه‌های هر یک برابر است؛ اما این تساوی برای توان‌های فرد و زوج چه شرایطی دارد؟\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff8e1; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #667085; margin-bottom: 14px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 14px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">خلاصه:\u003C\u002Fstrong> قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب می‌گوید که ریشه nام حاصل‌ضرب دو عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">(a\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">b)\u003C\u002Fspan> برابر است با حاصل‌ضرب ریشه nام هر یک. این قاعده در حالت فرد برای همه اعداد حقیقی معتبر است، اما در حالت زوج به دلیل مثبت بودن نتیجه ریشه، اعداد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">a\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">b\u003C\u002Fspan> باید نامنفی\u003Csup id=\"ref1\">1\u003C\u002Fsup> باشند. در این مقاله با زبانی ساده و مثال‌های متنوع، به بررسی این مفهوم کلیدی در ریاضیات دبیرستان می‌پردازیم و کاربردهای آن را در ساده‌سازی عبارت‌های جبری و حل معادلات رادیکالی نشان می‌دهیم.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۱. مفهوم پایه‌ای: ریشه nام چیست؟\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>پیش از پرداختن به قاعده اصلی، بیایید نگاهی دقیق‌تر به مفهوم «ریشه nام» بیندازیم. ریشه nام عدد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; vertical-align: baseline\">x\u003C\u002Fspan>، که با نماد \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{x}$\u003C\u002Fspan> نمایش داده می‌شود، عددی است مانند \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$r$\u003C\u002Fspan> که اگر آن را به توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> برسانیم، به \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x$\u003C\u002Fspan> برسیم. به عبارت دیگر: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$r^n = x$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>برای مثال:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[3]{8}=2$\u003C\u002Fspan> زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2^3 = 8$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[4]{16}=2$\u003C\u002Fspan> زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2^4 = 16$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[5]{-32}=-2$\u003C\u002Fspan> زیرا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(-2)^5 = -32$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>نکته مهم اینجاست که اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> فرد باشد، ریشه nام برای اعداد منفی نیز تعریف می‌شود (مثال سوم). اما اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> زوج باشد، ریشه nام یک عدد منفی، در مجموعه اعداد حقیقی تعریف‌نشده است؛ زیرا هیچ عدد حقیقی‌ای با توان زوج، منفی نمی‌شود. این تفاوت، هسته اصلی قاعده مورد بحث ماست.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۲. قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب: بیان و اثبات\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب یکی از پرکاربردترین قواعد در ساده‌سازی عبارات رادیکالی است. این قاعده به زبان ریاضی به این صورت بیان می‌شود:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fff7e6; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #7a5200; font-size: 13px; padding: 12px 14px; text-align: center\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; font-size: 18px; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{a \\times b} = \\sqrt[n]{a} \\times \\sqrt[n]{b}$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">اما این تساوی همیشه و تحت هر شرایطی برقرار نیست. \u003C\u002Fstrong>شرط برقراری آن به فرد یا زوج بودن \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> وابسته است:\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cul style=\"list-style-position: outside; padding-right: 18px\">\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">فرد\u003C\u002Fstrong> باشد: این قاعده برای همه اعداد حقیقی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan> (مثبت، منفی یا صفر) برقرار است.\u003C\u002Fli>\r\n \u003Cli>اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">زوج\u003C\u002Fstrong> باشد: این قاعده تنها زمانی برقرار است که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a \\ge 0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b \\ge 0$\u003C\u002Fspan> باشد.\u003C\u002Fli>\r\n\u003C\u002Ful>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">چرا؟\u003C\u002Fstrong> دلیل این محدودیت به تعریف ریشه برمی‌گردد. در حالت زوج، خروجی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> همواره یک عدد نامنفی است (ریشه اصلی\u003Csup id=\"ref2\">2\u003C\u002Fsup>). اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan> منفی باشند، عبارت سمت راست (حاصل‌ضرب دو عدد نامنفی) نامنفی خواهد بود، در حالی که سمت چپ (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{ab}$\u003C\u002Fspan>) تعریف نمی‌شود (چون \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ab$\u003C\u002Fspan> می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد) یا اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ab$\u003C\u002Fspan> مثبت باشد، جواب آن مثبت است، اما تساوی با سمت راست برقرار نیست. مثال نقض: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{(-4)\\times(-9)} = \\sqrt{36} = 6$\u003C\u002Fspan> در حالی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{-4} \\times \\sqrt{-9}$\u003C\u002Fspan> در اعداد حقیقی تعریف نشده است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۳. کاربرد عملی: ساده‌سازی عبارات و حل معادله\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cp>این قاعده به ما اجازه می‌دهد تا ریشه حاصل‌ضرب دو عدد را به حاصل‌ضرب ریشه‌ها تبدیل کنیم و بالعکس. این ویژگی در ساده‌سازی عبارت‌های جبری بسیار مفید است.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مثال ۱ (توان فرد):\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[3]{-8x^6}$\u003C\u002Fspan> را ساده کنید.\u003Cbr>\r\nبا استفاده از قاعده برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n=3$\u003C\u002Fspan> (فرد) داریم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[3]{-8 \\times x^6} = \\sqrt[3]{-8} \\times \\sqrt[3]{x^6} = (-2) \\times x^2 = -2x^2$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مثال ۲ (توان زوج):\u003C\u002Fstrong> عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{50a^4}$\u003C\u002Fspan> را به شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a \\ge 0$\u003C\u002Fspan> ساده کنید.\u003Cbr>\r\n\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{50a^4} = \\sqrt{25 \\times 2 \\times a^4} = \\sqrt{25} \\times \\sqrt{2} \\times \\sqrt{a^4} = 5 \\times \\sqrt{2} \\times a^2 = 5a^2\\sqrt{2}$\u003C\u002Fspan>.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">مثال ۳ (حل معادله):\u003C\u002Fstrong> معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[4]{3x+1} \\times \\sqrt[4]{x-1} = 2$\u003C\u002Fspan> را حل کنید.\u003Cbr>\r\nبا فرض اینکه عبارات زیر رادیکال نامنفی باشند (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3x+1\\ge0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x-1\\ge0$\u003C\u002Fspan>)، از قاعده به صورت معکوس استفاده می‌کنیم: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[4]{(3x+1)(x-1)} = 2$\u003C\u002Fspan>. با به توان \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$4$\u003C\u002Fspan> رساندن دو طرف: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$(3x+1)(x-1)=16$\u003C\u002Fspan>. با ساده‌سازی: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3x^2 -2x -1 =16$\u003C\u002Fspan> یا \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$3x^2 -2x -17=0$\u003C\u002Fspan>. جواب این معادله درجه دوم \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1+51}}{3} = \\frac{1 \\pm 2\\sqrt{13}}{3}$\u003C\u002Fspan> است. با اعمال شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x\\ge1$\u003C\u002Fspan>، جواب نهایی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x = \\frac{1 + 2\\sqrt{13}}{3}$\u003C\u002Fspan> خواهد بود.\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cdiv aria-label=\"جدول مقایسه شرایط فرد و زوج\" role=\"region\" style=\"-webkit-overflow-scrolling: touch; border-radius: 12px; border: 1px solid #e5e7eb; box-sizing: border-box; margin-bottom: 8px; margin-left: 16px; margin-right: 16px; margin-top: 8px; overflow: auto; padding: 0\">\r\n\u003Ctable cellspacing=\"0\" style=\"border-collapse: collapse; box-sizing: border-box; min-width: 600px; width: 100%\">\r\n \u003Cthead>\r\n  \u003Ctr>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">ویژگی\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توان فرد (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> فرد)\u003C\u002Fth>\r\n   \u003Cth style=\"box-sizing: border-box; text-align: right; padding: 10px 12px; background: #24292f; color: #ffffff; font-size: 13px; font-weight: 700; border-bottom: 1px solid #1f2328; : \">توان زوج (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> زوج)\u003C\u002Fth>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Fthead>\r\n \u003Ctbody>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">دامنه \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan>\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">همه اعداد حقیقی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">فقط اعداد نامنفی (\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a\\ge0, b\\ge0$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #f8fafc; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مفهوم ریشه برای اعداد منفی\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">تعریف شده (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[3]{-27}=-3$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">در اعداد حقیقی تعریف نشده (مثلاً \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{-4}$\u003C\u002Fspan>)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n  \u003Ctr style=\"background: #ffffff; : \">\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">مثال نقض\u002Fتأیید\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[3]{(-2)\\times 4} = \\sqrt[3]{-2} \\times \\sqrt[3]{4}$\u003C\u002Fspan> (برقرار)\u003C\u002Ftd>\r\n   \u003Ctd style=\"border-bottom: 1px solid #edf2f7; box-sizing: border-box; color: #667085; padding: 10px 12px; text-align: right\">\u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{(-4)\\times(-9)} \\neq \\sqrt{-4} \\times \\sqrt{-9}$\u003C\u002Fspan> (برقرار نیست)\u003C\u002Ftd>\r\n  \u003C\u002Ftr>\r\n \u003C\u002Ftbody>\r\n\u003C\u002Ftable>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۴. چالش‌های مفهومی\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">❓ چرا برای \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n$\u003C\u002Fspan> زوج، شرط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a\\ge0$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b\\ge0$\u003C\u002Fspan> کافی است؟ اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan> هر دو منفی باشند، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ab$\u003C\u002Fspan> مثبت است؛ چرا نمی‌توانیم از قاعده استفاده کنیم؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ پاسخ: اگر \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$a$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$b$\u003C\u002Fspan> هر دو منفی باشند، عبارت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{a}$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{b}$\u003C\u002Fspan> در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شوند. بنابراین سمت راست تساوی اصلاً معنایی ندارد. پس قاعده قابل اعمال نیست.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; margin-bottom: 12px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">❓ آیا می‌توان گفت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{x^2} = x$\u003C\u002Fspan> ؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ پاسخ: خیر. از آنجایی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$n=2$\u003C\u002Fspan> زوج است، \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{x^2}$\u003C\u002Fspan> همواره نامنفی است. بنابراین تساوی صحیح \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{x^2} = |x|$\u003C\u002Fspan> است (قدر مطلق \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x$\u003C\u002Fspan>). این یک نتیجه مستقیم از قاعده و توجه به شرایط آن است.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #ffffff; border-radius: 8px; padding: 12px 14px\">\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">❓ چرا قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب، گاهی به اشتباه به صورت \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt[n]{a+b} = \\sqrt[n]{a} + \\sqrt[n]{b}$\u003C\u002Fspan> نیز تصور می‌شود؟\u003C\u002Fstrong>\u003Cbr>\r\n✅ پاسخ: این تصور کاملاً اشتباه است. قاعده فقط برای ضرب (و همچنین تقسیم) برقرار است و برای جمع یا تفریق صدق نمی‌کند. دلیل آن به خواص توان و خطی نبودن عملگر ریشه برمی‌گردد. مثال نقض ساده: \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{9+16} = \\sqrt{25}=5$\u003C\u002Fspan> در حالی که \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{9}+\\sqrt{16}=3+4=7$\u003C\u002Fspan> و این دو با هم مساوی نیستند.\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">۵. چرا این قاعده مهم است؟ (جمع‌بندی)\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #fffdf3; border-radius: 12px; border: 1px solid #ffb600; color: #24292f; padding: 12px 14px\">قاعده ریشه nام حاصل‌ضرب یکی از ابزارهای اساسی در جبر است که به ما امکان می‌دهد تا عبارات رادیکالی پیچیده را به عبارات ساده‌تر تبدیل کنیم. درک صحیح این قاعده و مهم‌تر از آن، شرایط برقراری آن (تمایز بین توان‌های فرد و زوج) از اشتباهات رایج دانش‌آموزان جلوگیری می‌کند. این قاعده نه‌تنها در ساده‌سازی عبارات، بلکه در حل معادلات و نامعادلات رادیکالی، فاکتورگیری از زیر رادیکال، و دروس پیشرفته‌تر مانند توابع و حسابان کاربرد فراوانی دارد. به خاطر داشته باشید که ریشه‌گیری برای توان‌های زوج، یک «تابع» با دامنه اعداد نامنفی است و به همین دلیل، قواعد آن نیز تابع این محدودیت دامنه خواهد بود.\u003C\u002Fdiv>\r\n\r\n\u003Ch3 style=\"border-bottom: 2px solid #ffb600; color: #344054; font-size: 18px; margin-bottom: 16px; margin-left: 8px; margin-right: 8px; margin-top: 16px; padding: 0 0 6px 0\">پاورقی‌ها\u003C\u002Fh3>\r\n\r\n\u003Cdiv style=\"background: #f8fafc; border-radius: 12px; border: 1px solid #e2e8f0; font-size: 13px; padding: 12px 14px\">\r\n\u003Cp>\u003Csup>1\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">نامنفی (Non-negative):\u003C\u002Fstrong> به اعداد بزرگتر یا مساوی صفر گفته می‌شود. ( \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$ \\ge 0 $\u003C\u002Fspan> )\u003C\u002Fp>\r\n\r\n\u003Cp>\u003Csup>2\u003C\u002Fsup>\u003Cstrong style=\"color: #24292f\">ریشه اصلی (Principal Root):\u003C\u002Fstrong> برای ریشه‌های زوج، ریشه اصلی همواره مقدار نامنفی است. برای مثال، معادله \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$x^2 = 4$\u003C\u002Fspan> دو جواب \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2$\u003C\u002Fspan> و \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$-2$\u003C\u002Fspan> دارد، اما ریشه اصلی \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$\\sqrt{4}$\u003C\u002Fspan> فقط \u003Cspan style=\"direction: ltr; display: inline-block; unicode-bidi: isolate; vertical-align: baseline; white-space: nowrap\">$2$\u003C\u002Fspan> است.\u003C\u002Fp>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n\u003C\u002Fdiv>\r\n",[15,16,17],"قاعده ریشه nامِ حاصل‌ضرب","ریاضی دهم","پایه دهم",0,1,168,"2026-02-19 15:10:11","2026-08-17 13:05:45","ندا","بنی هاشمی","قاعده-ریشه-nام-حاصلضرب-برای-n-زوج-با-ab0-و-برای-n-فرد-با-ab-دلخواه-داریم-ⁿa-ⁿb-ⁿab","کپسول آموزشی","1404\u002F11\u002F30","13:05 1405\u002F05\u002F26",{"tests":30,"papers":31,"files":32,"questions":33,"exams":34,"tutorials":35,"blogs":36},[],[],[],[],[],[],[37,46,54,60,69,77,85,93,101,109,117,125],{"id":38,"title":39,"cat":10,"pic":40,"up_date":41,"title_url":42,"url":43,"legacy_url":44,"cat_title":26,"update_jalali":45},11217,"ریشه‌های زوجِ عدد منفی: برای n زوج و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002Fn2WIQNCL2H2GzV9dVDpd_200.png","2026-09-10 15:00:03","ریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11217\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","1405\u002F06\u002F19",{"id":47,"title":48,"cat":10,"pic":49,"up_date":50,"title_url":51,"url":52,"legacy_url":53,"cat_title":26,"update_jalali":45},11218,"ریشه nامِ عدد منفی با n فرد: برای n فرد و a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FJ6esTdw6Vp4ArxmEfAig_200.png","2026-09-10 14:58:02","ریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11218\u002Fریشه-nام-عدد-منفی-با-n-فرد-برای-n-فرد-و-a",{"id":55,"title":39,"cat":10,"pic":56,"up_date":57,"title_url":42,"url":58,"legacy_url":59,"cat_title":26,"update_jalali":45},11257,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FVHnIs5E2Kbe1Slfxkrri_200.png","2026-09-10 14:55:57","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11257\u002Fریشههای-زوج-عدد-منفی-برای-n-زوج-و-a",{"id":61,"title":62,"cat":10,"pic":63,"up_date":64,"title_url":65,"url":66,"legacy_url":67,"cat_title":26,"update_jalali":68},11183,"کتانژانت زاویه: نسبت طول ضلع مجاور زاویه به طول ضلع مقابل آن و با cotA نمایش داده می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FrsNRRg1ltHswJDM4FjYG_200.png","2026-08-17 15:19:01","کتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11183\u002Fکتانژانت-زاویه-نسبت-طول-ضلع-مجاور-زاویه-به-طول-ضلع-مقابل-آن-و-با-cotA-نمایش-داده-میشود","1405\u002F05\u002F26",{"id":70,"title":71,"cat":10,"pic":72,"up_date":73,"title_url":74,"url":75,"legacy_url":76,"cat_title":26,"update_jalali":68},11184,"رابطه tanA=sinA\u002FcosA : رابطه‌ای که تانژانت را نسبت سینوس به کسینوس همان زاویه بیان می‌کند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FpPb6Jht9Ah2v7qKrB4NM_200.png","2026-08-17 15:16:44","رابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11184\u002Fرابطه-tanAsinAcosA-رابطهای-که-تانژانت-را-نسبت-سینوس-به-کسینوس-همان-زاویه-بیان-میکند",{"id":78,"title":79,"cat":10,"pic":80,"up_date":81,"title_url":82,"url":83,"legacy_url":84,"cat_title":26,"update_jalali":68},11185,"تشابه مثلث‌ها: حالتی که زوایای نظیر دو مثلث برابر و نسبت ضلع‌های متناظر آن‌ها برابر باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F7MLSl05BnI50CKdBFtOi_200.png","2026-08-17 15:15:43","تشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11185\u002Fتشابه-مثلثها-حالتی-که-زوایای-نظیر-دو-مثلث-برابر-و-نسبت-ضلعهای-متناظر-آنها-برابر-باشد",{"id":86,"title":87,"cat":10,"pic":88,"up_date":89,"title_url":90,"url":91,"legacy_url":92,"cat_title":26,"update_jalali":68},11186,"نسبت ضلع‌های متناظر: نسبت طول ضلع‌های هم‌جایگاه در دو مثلث متشابه که با هم برابر است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FTGMVlR6KColKYtl2OXJB_200.png","2026-08-17 15:11:56","نسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11186\u002Fنسبت-ضلعهای-متناظر-نسبت-طول-ضلعهای-همجایگاه-در-دو-مثلث-متشابه-که-با-هم-برابر-است",{"id":94,"title":95,"cat":10,"pic":96,"up_date":97,"title_url":98,"url":99,"legacy_url":100,"cat_title":26,"update_jalali":68},11193,"گویا کردن مخرج: تبدیل مخرجِ رادیکالی به مخرجِ بدون رادیکال با انجام عمل‌های جبری مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FPK2wJk9G3fUOVHKgGL8S_200.png","2026-08-17 15:10:20","گویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11193\u002Fگویا-کردن-مخرج-تبدیل-مخرج-رادیکالی-به-مخرج-بدون-رادیکال-با-انجام-عملهای-جبری-مناسب",{"id":102,"title":103,"cat":10,"pic":104,"up_date":105,"title_url":106,"url":107,"legacy_url":108,"cat_title":26,"update_jalali":68},11194,"مدل ریاضی: نمایش یک مسئله واقعی به صورت روابط و شکل‌های ریاضی برای حل آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002FYIqCyZdnR0nQqxSiZqY0_200.png","2026-08-17 15:08:12","مدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11194\u002Fمدل-ریاضی-نمایش-یک-مسئله-واقعی-به-صورت-روابط-و-شکلهای-ریاضی-برای-حل-آن",{"id":110,"title":111,"cat":10,"pic":112,"up_date":113,"title_url":114,"url":115,"legacy_url":116,"cat_title":26,"update_jalali":68},11195,"مساحت مثلث: مقدار ۱\u002F۲ حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F2FoNVSulugFnf5Vat2zr_200.png","2026-08-17 15:06:54","مساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11195\u002Fمساحت-مثلث-مقدار-۱۲-حاصلضرب-قاعده-در-ارتفاع",{"id":118,"title":119,"cat":10,"pic":120,"up_date":121,"title_url":122,"url":123,"legacy_url":124,"cat_title":26,"update_jalali":68},11196,"فرمول مساحت با سینوس: مساحت مثلث برابر ۱\u002F۲ ضرب دو ضلع در سینوس زاویه بین آن‌هاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F6QtSJNFHDEyh5C9lMzmh_200.png","2026-08-17 15:04:03","فرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11196\u002Fفرمول-مساحت-با-سینوس-مساحت-مثلث-برابر-۱۲-ضرب-دو-ضلع-در-سینوس-زاویه-بین-آنهاست",{"id":126,"title":127,"cat":10,"pic":128,"up_date":129,"title_url":130,"url":131,"legacy_url":132,"cat_title":26,"update_jalali":68},11197,"زاویه مثبت: زاویه‌ای که با حرکت پادساعتگرد روی دایره مثلثاتی اندازه‌گیری می‌شود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fuploads\u002Fnews\u002Fthumbnails\u002F48z8hXoF2xgR3Gv8aYap_200.png","2026-08-17 15:02:45","زاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblogs\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود","https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fblog\u002F11197\u002Fزاویه-مثبت-زاویهای-که-با-حرکت-پادساعتگرد-روی-دایره-مثلثاتی-اندازهگیری-میشود",{"status":19,"data":134},[135,174,234,252,272],{"id":19,"title":136,"list_order":19,"items":137},"آشنایی",[138,143,147,151,158,162,166,170],{"id":139,"link":140,"type":141,"slug":12,"title":142},8,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F8","content","قوانین و مقررات",{"id":144,"link":145,"type":141,"slug":12,"title":146},9,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F9","پرسش های متداول",{"id":148,"link":149,"type":141,"slug":12,"title":150},12,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F12","راهنمای عضویت",{"id":152,"link":153,"type":154,"slug":155,"handler":156,"title":157},132,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fmakemoney","special","makemoney","makeMoney","درآمدزایی در گاما",{"id":159,"link":160,"type":141,"slug":12,"title":161},13,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F13","راهنمای دبیران",{"id":163,"link":164,"type":141,"slug":12,"title":165},15,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F15","راهنمای دانش آموزان",{"id":167,"link":168,"type":141,"slug":12,"title":169},141,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F141","تغییرات اخیر",{"id":171,"link":172,"type":141,"slug":12,"title":173},69,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F69","نرم افزارهای كاربردی",{"id":175,"title":176,"list_order":19,"items":177},2,"المپیادها",[178,182,186,190,194,198,202,206,210,214,218,222,226,230],{"id":179,"link":180,"type":141,"slug":12,"title":181},4,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F4","المپیاد ریاضی",{"id":183,"link":184,"type":141,"slug":12,"title":185},19,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F19","المپیاد فیزیک",{"id":187,"link":188,"type":141,"slug":12,"title":189},20,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F20","المپیاد شیمی",{"id":191,"link":192,"type":141,"slug":12,"title":193},21,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F21","المپیاد زیست شناسی",{"id":195,"link":196,"type":141,"slug":12,"title":197},22,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F22","المپیاد کامپیوتر",{"id":199,"link":200,"type":141,"slug":12,"title":201},23,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F23","المپیاد نجوم",{"id":203,"link":204,"type":141,"slug":12,"title":205},24,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F24","المپیاد ادبی",{"id":207,"link":208,"type":141,"slug":12,"title":209},25,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F25","المپیاد سلول‌های بنیادی",{"id":211,"link":212,"type":141,"slug":12,"title":213},95,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F95","المپیاد جغرافیا",{"id":215,"link":216,"type":141,"slug":12,"title":217},114,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F114","المپیاد علوم زمین",{"id":219,"link":220,"type":141,"slug":12,"title":221},115,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F115","المپیاد مدیریت، اقتصاد و حکمرانی",{"id":223,"link":224,"type":141,"slug":12,"title":225},140,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F140","المپیاد سواد رسانه‌ای",{"id":227,"link":228,"type":141,"slug":12,"title":229},136,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F136","المپیاد نانو",{"id":231,"link":232,"type":141,"slug":12,"title":233},151,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F151","المپیاد هوش مصنوعی",{"id":235,"title":236,"list_order":19,"items":237},3,"نمونه و تیزهوشان",[238,242,247],{"id":239,"link":240,"type":141,"slug":12,"title":241},26,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F26","آزمون ورودی پایه چهارم",{"id":243,"link":244,"type":154,"slug":245,"handler":245,"title":246},27,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas6","khas6","آزمون ورودی پایه هفتم",{"id":248,"link":249,"type":154,"slug":250,"handler":250,"title":251},28,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkhas9","khas9","آزمون ورودی پايه دهم",{"id":253,"title":254,"list_order":19,"items":255},7,"کتابهای درسی",[256,260,264,268],{"id":257,"link":258,"type":141,"slug":12,"title":259},43,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F43","دوره دبستان",{"id":261,"link":262,"type":141,"slug":12,"title":263},48,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F48","دوره اول متوسطه",{"id":265,"link":266,"type":141,"slug":12,"title":267},49,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F49","دوره دوم متوسطه",{"id":269,"link":270,"type":141,"slug":12,"title":271},50,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F50","بارم بندی دروس",{"id":139,"title":273,"list_order":139,"items":274},"پیشنهاد ویژه",[275,280,285,290,295,300,305,308,312,316,320],{"id":276,"link":277,"type":154,"slug":278,"handler":278,"title":279},108,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang6th","hamahang6th","امتحانات هماهنگ ششم",{"id":281,"link":282,"type":154,"slug":283,"handler":283,"title":284},71,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fhamahang9th","hamahang9th","امتحانات هماهنگ نهم",{"id":286,"link":287,"type":154,"slug":288,"handler":288,"title":289},147,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei10th","nahaei10th","امتحان نهایی دهم",{"id":291,"link":292,"type":154,"slug":293,"handler":293,"title":294},148,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei11th","nahaei11th","امتحان نهایی یازدهم",{"id":296,"link":297,"type":154,"slug":298,"handler":298,"title":299},94,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fnahaei12th","nahaei12th","امتحان نهایی دوازدهم",{"id":301,"link":302,"type":141,"slug":303,"title":304},68,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fkonkur","konkur","بیست‌وسه سال کنکور سراسری",{"id":5,"link":306,"type":141,"slug":12,"title":307},"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F67","ويژه نامه نوبت دوم",{"id":309,"link":310,"type":141,"slug":12,"title":311},64,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F64","آزمون‌های نوبت دوم",{"id":313,"link":314,"type":141,"slug":12,"title":315},78,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F78","آزمون‌های نوبت اول",{"id":317,"link":318,"type":141,"slug":12,"title":319},90,"https:\u002F\u002Fgama.ir\u002Fpage\u002Fshow\u002F90","آزمون سنجش آغازین",{"id":321,"link":322,"type":323,"slug":324,"title":325},173,"https:\u002F\u002Fhelpcenter.gama.ir\u002Fevent-timeline","link","تقویم-آموزشی","تقویم آموزشی"]