عضو تکراری: در نمایش مجموعه، آوردن چند بار یک عضو، مجموعه جدیدی نمی‌سازد.

مجموعه‌ها و راز عضو تکراری

مجموعه چیست و اعضای آن چه ویژگی‌هایی دارند؟

یک مجموعه، در ساده‌ترین تعریف، گردآوری از چیزهای مشخص و متمایز است. این چیزها می‌توانند هر چیزی باشند: اعداد، حیوانات، اشیا یا حتی مفاهیم. اما یک شرط اساسی وجود دارد: هر عضو در یک مجموعه فقط یک بار شمرده می‌شود. فرض کنید یک $A$ داریم که مجموعه‌ی رنگ‌های موجود در یک جعبه مداد رنگی است. اگر در این جعبه سه مداد قرمز، دو مداد آبی و یک مداد سبز باشد، مجموعه‌ی رنگ‌ها اینگونه تعریف می‌شود: $A = \lbrace \text{قرمز، آبی، سبز} \rbrace$. حالا اگر شما بخواهید مداد قرمز دیگری را هم به این مجموعه اضافه کنید، آیا مجموعه تغییر می‌کند؟ خیر، چون مداد قرمز از قبل در مجموعه وجود دارد. مجموعه فقط اعضای متفاوت را نگه می‌دارد.

چرا تکرار مهم نیست؟ یک مقایسه با دنیای واقعی

برای درک بهتر این موضوع، فرض کنید شما یک کلکسیون^۳ تمبر دارید. اگر یک تمبر خاص را دوبار بخرید، آیا کلکسیون شما "بزرگتر" یا "متفاوت" می‌شود؟ از نظر نوع تمبر، خیر. شما فقط یک نمونه از آن تمبر خاص را در کلکسیون خود نگه می‌دارید و نمونه‌های تکراری را ممکن است با دوستان خود معاوضه کنید. مجموعه در ریاضیات دقیقاً مانند این کلکسیون عمل می‌کند: فقط تنوع اعضا مهم است، نه تعداد دفعاتی که یک عضو ظاهر می‌شود.

مثال دیگر: لیست اسامی دانش‌آموزان یک کلاس. اگر معلم هنگام حضور و غیاب، نام یک دانش‌آموز را سه بار صدا بزند، آیا تعداد دانش‌آموزان کلاس تغییر می‌کند؟ مسلماً نه. مجموعه‌ی اسامی دانش‌آموزان فقط شامل نام‌های یکتا^۴ است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

^۱مجموعه (Set): یک گردآوری از اشیاء مشخص و متمایز.
^۲عضو تکراری (Duplicate Element): عضوی که بیش از یک بار در یک گردآوری ظاهر شود.
^۳کلکسیون (Collection): یک گردآوری از اشیاء که معمولاً بر اساس علاقه شخصی جمع‌آوری می‌شود.
^۴یکتا (Unique): منحصر به فرد و بدون همانند.
^۵چندمجموعه (Multiset): یک ساختار ریاضی که در آن اعضا می‌توانند تکرار شوند و تعداد تکرار هر عضو مهم است.