تبدیل کسر به اعشار: از صورت و مخرج تا عدد اعشاری
کسر و اعشار چیستند؟
پیش از شروع، باید با تعریف این دو مفهوم آشنا شویم. یک کسر روشی برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است و از دو بخش تشکیل شده است: صورت (عدد بالا) که تعداد قسمت‌های انتخاب شده را نشان می‌دهد و مخرج (عدد پایین) که نشان‌دهندهٔ کل قسمت‌های مساوی است. برای مثال، در کسر $\frac{3}{4}$، عدد ۳ صورت و عدد ۴ مخرج است که به معنای «سه قسمت از چهار قسمت مساوی» می‌باشد.
یک عدد اعشاری نیز روش دیگری برای نمایش قسمت‌هایی از یک کل است که بر اساس توان‌های عدد ۱۰ (مانند ده‌گان، یکان، دهم، صدم، هزارم و ...) نوشته می‌شود. عددی مانند 0.75 به معنای «هفت دهم و پنج صدم» یا همان $\frac{75}{100}$ است. هدف از تبدیل کسر به اعشار، پیدا کردن همین نمایش اعشاری معادل برای یک کسر داده شده است.
روش اصلی: تقسیم صورت بر مخرج
اساسی‌ترین و جهانی‌ترین روش برای تبدیل کسر به اعشار، انجام عمل تقسیم است. در این روش، صورت کسر را به عنوان مقسوم و مخرج را به عنوان مقسوم‌علیه در نظر می‌گیریم و تقسیم را تا رسیدن به جواب نهایی یا کشیدن الگوی تکراری ادامه می‌دهیم.
مثال ۱: تبدیل یک کسر ساده
می‌خواهیم کسر $\frac{3}{4}$ را به اعشار تبدیل کنیم. برای این کار، عمل $3 \div 4$ را انجام می‌دهیم.
از آنجا که ۳ از ۴ کوچک‌تر است، در خارج قسمت اعشاری، یکان را ۰ می‌نویسیم و بعد از گذاشتن ممیز اعشار، تقسیم را ادامه می‌دهیم. به ۳ یک صفر می‌چسبانیم تا عدد ۳۰ به دست آید. حالا می‌پرسیم: «۴ در چند تا می‌شود ۳۰؟» جواب ۷ است، چون $4 \times 7 = 28$. عدد ۷ را در قسمت دهم خارج قسمت می‌نویسیم. باقیمانده $30 - 28 = 2$ است. به ۲ یک صفر دیگر می‌چسبانیم تا ۲۰ به دست آید. حالا می‌پرسیم: «۴ در چند تا می‌شود ۲۰؟» جواب ۵ است، چون $4 \times 5 = 20$. عدد ۵ را در قسمت صدم خارج قسمت می‌نویسیم. باقیمانده صفر می‌شود. بنابراین، حاصل تقسیم و جواب نهایی $0.75$ است.
پس: $\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75$
مثال ۲: تبدیل یک کسر بزرگ‌تر از واحد
کسر $\frac{7}{2}$ را در نظر بگیرید. این کسر از واحد بزرگ‌تر است. برای تبدیل، عمل $7 \div 2$ را انجام می‌دهیم.
می‌پرسیم: «۲ در چند تا می‌شود ۷؟» جواب ۳ است، چون $2 \times 3 = 6$. عدد ۳ را در قسمت یکان خارج قسمت می‌نویسیم. باقیمانده $7 - 6 = 1$ است. حالا بعد از ممیز اعشار، به باقیمانده ۱ یک صفر می‌چسبانیم تا ۱۰ به دست آید. می‌پرسیم: «۲ در چند تا می‌شود ۱۰؟» جواب ۵ است. عدد ۵ را در قسمت دهم خارج قسمت می‌نویسیم. باقیمانده صفر می‌شود. بنابراین، حاصل تقسیم و جواب نهایی $3.5$ است.
پس: $\frac{7}{2} = 7 \div 2 = 3.5$
| کسر | عمل تقسیم | عدد اعشاری |
|---|---|---|
| $\frac{1}{2}$ | $1 \div 2$ | 0.5 |
| $\frac{3}{5}$ | $3 \div 5$ | 0.6 |
| $\frac{2}{3}$ | $2 \div 3$ | 0.666...$^{(1)}$ |
| $\frac{5}{8}$ | $5 \div 8$ | 0.625 |
اعداد اعشاری دوره‌ای (تکراری)
همیشه نتیجه تقسیم صورت بر مخرج به یک باقیمانده صفر ختم نمی‌شود. در برخی موارد، باقیمانده‌ها شروع به تکرار می‌کنند که منجر به پیدایش یک عدد اعشاری دوره‌ای می‌شود. در این اعداد، یک یا چند رقم به صورت نامتناهی و پشت سر هم تکرار می‌شوند. برای نشان دادن این تکرار، از خطی روی ارقام تکرار شونده استفاده می‌کنیم.
مثال ۳: اعشار دوره‌ای
کسر $\frac{2}{3}$ را در نظر بگیرید. عمل $2 \div 3$ را انجام می‌دهیم.
از آنجا که ۲ از ۳ کوچک‌تر است، در خارج قسمت اعشاری، یکان را ۰ می‌نویسیم و بعد از گذاشتن ممیز اعشار، تقسیم را ادامه می‌دهیم. به ۲ یک صفر می‌چسبانیم تا ۲۰ به دست آید. می‌پرسیم: «۳ در چند تا می‌شود ۲۰؟» جواب ۶ است، چون $3 \times 6 = 18$. عدد ۶ را در قسمت دهم خارج قسمت می‌نویسیم. باقیمانده $20 - 18 = 2$ است. اینجا متوجه می‌شویم که دوباره به عدد ۲ رسیده‌ایم (همان مقسوم اولیه). این روند (به دست آوردن باقیمانده ۲ و چسباندن صفر به آن برای به دست آوردن ۲۰) تا ابد ادامه خواهد داشت و رقم ۶ در خارج قسمت نیز مدام تکرار می‌شود. بنابراین، حاصل تقسیم $0.666...$ است که به صورت $0.\overline{6}$ نمایش داده می‌شود. خط روی رقم ۶ نشان‌دهنده تکرار بی‌نهایت آن است.
پس: $\frac{2}{3} = 0.\overline{6}$
مثال ۴: دوره‌ای با بیش از یک رقم
کسر $\frac{2}{7}$ را تبدیل می‌کنیم: $2 \div 7$.
با انجام تقسیم طولانی، به دنباله باقیمانده‌ها و ارقامی می‌رسیم که پس از چند رقم شروع به تکرار می‌کنند. حاصل این تقسیم می‌شود: $0.285714285714...$. می‌بینیم که دنباله شش رقمی 285714 مدام تکرار می‌شود. بنابراین، این عدد اعشاری را به صورت $0.\overline{285714}$ نشان می‌دهیم.
تبدیل کسر به اعشار در زندگی روزمره
توانایی تبدیل کسر به اعشار یک مهارت بسیار کاربردی در موقعیت‌های مختلف زندگی است. هنگام خرید، یک کالا ممکن است $\frac{1}{2}$ کیلوگرم یا $0.5$ کیلوگرم قیمت‌گذاری شده باشد. در آشپزی، ممکن است در یک دستور غذا از $\frac{3}{4}$ فنجان آرد استفاده شده باشد، اما پیمانه‌ی شما درجه‌بندی اعشاری داشته باشد ($0.75$). در مسابقات ورزشی، زمان یک دونده ممکن است $\frac{23}{5}$ ثانیه یا $4.6$ ثانیه ثبت شود. درک هر دو فرمت و توانایی تبدیل بین آن‌ها به شما کمک می‌کند تا اطلاعات را بهتر مقایسه کنید، اندازه‌گیری‌های دقیق‌تری داشته باشید و محاسبات ذهنی را سریع‌تر انجام دهید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
1عدد اعشاری دوره‌ای (Repeating Decimal): به عدد اعشاری که در آن یک یا چند رقم به صورت نامتناهی تکرار می‌شوند، عدد اعشاری تکراری یا دوره‌ای می‌گویند. برای نمایش آن، یک خط روی ارقام تکرارشونده می‌گذارند، مانند $0.\overline{6}$.